Parçalı Fonksiyonun Süreksizlik Noktaları

Merhaba! Bu soruda, gerçel sayılarda tanımlı parçalı bir f fonksiyonunun sürekli olmadığı noktaların sayısını bulacağız. Öncelikle bir fonksiyonun süreksiz olabileceği aday noktaları iki grupta inceleyelim. Birincisi, her bir aralıktaki kuralların paydasını sıfır yapan, yani fonksiyonu tanımsız yapan noktalar. İkincisi ise fonksiyonun kural değiştirdiği kritik sınır noktalarıdır.

İlk olarak, x büyüktür eksi üç aralığındaki birinci dalı inceleyelim. Burada kuralımız, x artı üç bölü x kare eksi dokuzdur.

Bu ifadenin paydasını sıfır yapan değerleri bulmak için x kare eksi dokuz eşittir sıfır denklemini çözeriz. Buradan x değerleri üç veya eksi üç olarak bulunur.

Ancak bu değerlerin her ikisi de x küçüktür eksi üç aralığının içinde yer almaz. Dolayısıyla, bu aralıkta fonksiyonu tanımsız yapan herhangi bir nokta yoktur.

Şimdi ikinci aralığa geçelim. Eksi üç küçük eşittir x, o da küçüktür iki aralığında kuralımız, x eksi bir bölü beş x eksi on birdir.

Bu rasyonel ifadenin paydasını sıfır yapan değer, beş x eksi on bir eşittir sıfır denkleminden x eşittir on bir bölü beş, yani iki virgül ikidir.

Bulduğumuz iki virgül iki değeri, eksi üç ile iki aralığının dışında kaldığı için bu aralıkta da fonksiyonu tanımsız yapan bir nokta bulunmamaktadır.

Son olarak, x büyük eşittir iki aralığındaki üçüncü kuralımızı inceleyelim. Kuralımız, üç x eksi dört bölü iki x artı ikidir.

Paydayı sıfır yapan x değeri, iki x artı iki eşittir sıfırdan x eşittir eksi birdir. Eksi bir, x büyük eşittir iki aralığına dahil olmadığı için bu aralıkta da süreksizlik noktası yoktur.