Süreklilik ve Limit Analizi
Yayınlanma:
Dik koordinat düzleminde eksenleri silinmiş ve birim karelere ayrılmış gerçek sayılarda yalnızca üç noktada sürekli olmayan $y = f(x)$ fonksiyonunun grafiğinin belirli bir bölümü verilmiştir.
f fonksiyonu ile ilgili
- $y = |f(x)|$ fonksiyonu gerçel sayılar kümesinde süreklidir.
- $\lim_{x \to 1^-} f(x) = f(1) - 8$
bilgileri veriliyor.
Buna göre, $\lim_{x \to (-1)^+} f(x) + \lim_{x \to 4^-} f(x)$ toplamını bulunuz.
Soruda görsel içerik var: Bir koordinat sistemi üzerinde parçalı bir f(x) fonksiyon grafiği görülmektedir. Grafik üç parçadan oluşmaktadır: birinci parça soldan gelmekte, x=1 civarında bir süreksizlik göstermektedir. İkinci parça ara bir bölgededir. Üçüncü parça sağ tarafta yer almaktadır. Grafik üzerinde içleri boş ve dolu dairelerle süreksizlik noktaları işaretlenmiştir. Izgara arka planı fonksiyon değerlerini okumayı kolaylaştıran bir yapıdadır.
Animasyonlu Video Çözüm
İlk yarısı ücretsiz izlenebilir, tamamı uygulamada.
Adım Adım Yazılı Çözüm
Selam Ecrin! Bu soruda parçalı bir fonksiyonun grafiği üzerinden süreklilik ve limit kavramlarını inceleyeceğiz.
Fonksiyon Grafigi ve Limit
Soruda fonksiyonun yalnızca üç noktada sürekli olmadığı ve mutlak değerinin ise her yerde sürekli olduğu verilmiş.
Bir fonksiyonun mutlak değerinin sürekli olması için, kopma olan yerlerde limitlerin mutlak değerleri birbirine ve o noktadaki fonksiyon değerine eşit olmalıdır. Yani f soldan ve f sağdan limitlerinin mutlak değerleri aynı olmalı.
Grafikteki üç kesinti noktasına bakalım. Birim kareleri kullanarak bu noktaların bağıl konumlarını belirleyebiliriz. Kopma olan bu üç nokta, fonksiyonun süreksiz olduğu yerlerdir.
Şimdi ikinci ipucuna bakalım: x bire soldan yaklaşırken limit, f bir eksi sekize eşittir. Mutlak değer sürekliliği gereği, bu noktada limitin sayısal değeri, x eksenine göre simetrik bir sıçrama yapmalıdır.
Kural: Mutlak değer sürekliliği için |f(a^-)| = |f(a^+)| = |f(a)| olmalı.
Kopma olan noktalardaki değerleri grafikten okuyalım. Birinci kopmada sol limit üç, sağ limit eksi üç birim gibi görünüyor. Aradaki fark sekiz olan yere odaklanmalıyız.
f bir değeri ile sol limit arasındaki fark sekiz ise ve mutlak değerleri eşitse; limit değeri dört, fonksiyon değeri eksi dört olmalıdır. Veya tam tersi.
Grafikteki en büyük kopma, birim kareleri saydığımızda ortadaki noktada gerçekleşiyor. Üstteki değer üç birim, alttaki değer beş birim aşağıda. Toplam sekiz birimlik bir mesafe var.
Grafikten: Ortadaki kopmada mesafe 8 birim.
Çözümün devamı Solvi’de
7 adım daha kilitli. Tamamını animasyonlu ve sesli anlatımla ücretsiz izle.
Fotoğrafını çek, her soruyu böyle çöz.
Çözümün Devamını Ücretsiz İzle
İndirmesi ücretsiz · İlk çözümler hediye
