Limit of Function Combinations
Yayınlanma:
19. Gerçek sayılar kümesi üzerinde tanımlı f ve g fonksiyonları bir a tam sayısı için $$\lim_{x \to a^-} f(x) < f(a) < \lim_{x \to a^+} f(x)$$
$$\lim_{x \to a^+} g(x) < g(a) < \lim_{x \to a^-} g(x)$$
eşitsizliklerini sağlıyor.
Buna göre
I. $(f + g)$
II. $(f - g)$
III. $(f \cdot g)$
fonksiyonlarından hangilerinin apsisi a olan noktalarda limiti olabilir?
A) Yalnız I B) Yalnız II C) Yalnız III D) I ve II E) I ve III
Soruda görsel içerik var: There are two small hand-drawn coordinate system sketches to the right of the text. The top sketch, labeled 'f(x)', shows a function with a jump discontinuity at x=a, with an open circle above the axis and another open circle below the axis, and a point marked in between. The bottom sketch, labeled 'g(x)', shows a similar jump discontinuity at x=a, also with open circles and a point marked in between.
Animasyonlu Video Çözüm
İlk yarısı ücretsiz izlenebilir, tamamı uygulamada.
Adım Adım Yazılı Çözüm
Merhaba Beyza, seninle birlikte bu güzel limit sorusunu adım adım çözelim. İlk olarak soruda bize verilen f ve g fonksiyonlarının limit durumlarını inceleyelim.
Limit ve Süreklilik Analizi
Soruda bize f fonksiyonu için sol limitin, f a değerinden, onun da sağ limitten küçük olduğu verilmiş.
Bu limit değerlerini daha sade göstermek için sol limite L 1, sağ limite ise R 1 diyelim. Bu durumda L 1, R 1'den küçük olmalıdır.
Şimdi de g fonksiyonu için verilen eşitsizliğe bakalım. Burada sağ limit, g a değerinden, o da sol limitten küçüktür.
Benzer şekilde, g fonksiyonunun sol limitine L 2, sağ limitine ise R 2 dersek, bu durumda R 2, L 2'den küçük olur. Yani L 2, R 2'den büyüktür.
Harika. Şimdi birinci öncülü, yani f artı g fonksiyonunun x eşittir a noktasındaki limitini inceleyelim. Bir toplam fonksiyonunun limitinin olması için sol ve sağ limitlerinin eşit olması gerekir.
Öncül I: (f + g) Fonksiyonunun Limiti
Bu limitleri tanımladığımız L ve R değerleri cinsinden yazalım. Sol limit L 1 artı L 2, sağ limit ise R 1 artı R 2 olacaktır. Bu iki toplam birbirine eşit olabilir mi, bunu inceleyelim.
Elimizdeki eşitsizlikleri hatırlayalım. L 1, R 1'den küçüktü ve L 2, R 2'den büyüktü. Bu şartları sağlayan uygun değerler seçerek bu eşitliği sağlayıp sağlayamayacağımıza bakalım.
Örneğin, L 1 değerini bir, R 1 değerini beş seçelim. f a değeri de bu aralıkta, mesela üç olsun. g için ise L 2 değerini beş, R 2 değerini bir seçelim. g a değeri de yine üç olsun.
Şimdi sol ve sağ limitlerin toplamını kontrol edelim. Sol limitlerin toplamı bir artı beşten altı yapar. Sağ limitlerin toplamı da beş artı birden altı yapar. Gördüğün gibi, limitler eşitlendi!
Sonuç: L_1 + L_2 = R_1 + R_2 \implies \text{Limit olabilir.}
Şimdi de ikinci öncülü, yani f eksi g fonksiyonunu inceleyelim. Bu fonksiyonun limitinin var olabilmesi için sol limit olan L 1 eksi L 2 değerinin, sağ limit olan R 1 eksi R 2 değerine eşit olması gerekir.
Öncül II: (f - g) Fonksiyonunun Limiti
Çözümün devamı Solvi’de
10 adım daha kilitli. Tamamını animasyonlu ve sesli anlatımla ücretsiz izle.
Fotoğrafını çek, her soruyu böyle çöz.
Çözümün Devamını Ücretsiz İzle
İndirmesi ücretsiz · İlk çözümler hediye
