Limit ve Süreklilik Sorusu

Merhaba Elanaz, bu soruda her noktada limiti olan bir parçalı fonksiyonu inceleyeceğiz ve bizden istenen a artı b kare toplamını bulacağız.

Bir fonksiyonun her noktada limitinin olması, özellikle kritik nokta olan ikide sağdan ve soldan limitlerin birbirine eşit olması gerektiği anlamına gelir.

Önce sağdan limite, yani x'in ikiden büyük olduğu duruma bakalım.

Bu limitin sonlu bir sayıya eşit olabilmesi için, payda sıfıra yaklaşıyorsa payın da sıfıra yaklaşması gerekirdi. Ancak burada pay ikiye yaklaşıyor.

O halde payda sıfır olmamalıdır. Doğrudan yerine koyalım. Sağ limit, iki bölü; dört eksi karekök içinde a eksi iki olur.

Şimdi soldan limite bakalım. x ikiden küçükken fonksiyonumuz bu ifadeye sahip.

Burada x yerine iki yazdığımızda pay kısmı sıfır oluyor. Limitin var olması ve bir sayıya eşit olması için paydanın da sıfır olması gerekir.

Sıfır bölü sıfır belirsizliği oluşmalı ki sadeleşme sonucu sağ limit ile aynı sayıya ulaşabilelim. Paydayı sıfıra eşitleyelim.

Karekök yirmi beş dışarı beş olarak çıkar. Buradan beşi karşıya atarsak b değerini beş olarak buluruz.

b değerini bulduğumuza göre soldan limiti hesaplayabiliriz. Belirsizliği gidermek için eşlenik ile çarpalım.

Payda kısmında kareler farkı oluşur. Beş x kare artı beş, eksi yirmi beşten; payda beş x kare eksi yirmi olur.