Fonksiyon Limiti ve Süreklilik Sorusu
Yayınlanma:
20. a, b ve n gerçek sayılar olmak üzere, gerçek sayılar kümesinin birer alt kümesi üzerinde tanımlanmış f ve g fonksiyonları $$f(x) = \begin{cases} x^2 - n, & x > a \\ 0, & x = a \\ x - \sqrt{n}, & x < a \end{cases}$$ $$g(x) = \begin{cases} b + a - \sqrt{x}, & 0 \leq x < n \\ a + \sqrt{x}, & x > n \end{cases}$$ biçiminde veriliyor. f fonksiyonunun apsisi a olan noktasında limiti var ancak f fonksiyonu apsisi a olan noktada sürekli değildir. g fonksiyonunun ise apsisi n olan noktasında limiti vardır. Buna göre b sayısının değeri kaç olamaz? A) $1/3$ B) $1/2$ C) 1 D) $4/3$ E) $5/3$
Animasyonlu Video Çözüm
İlk yarısı ücretsiz izlenebilir, tamamı uygulamada.
Adım Adım Yazılı Çözüm
Merhaba Beyza! Bu videoda seninle limit ve süreklilik ile ilgili harika bir AYT sorusunu adım adım çözeceğiz. Öncelikle soruda verilen fonksiyonları ve koşulları inceleyelim.
f(x) Fonksiyonunun Limit Koşulu
f fonksiyonunun x eşittir a noktasında limiti olduğunu biliyoruz. Bu durum, soldan ve sağdan limitlerin birbirine eşit olması gerektiği anlamına gelir.
Şimdi f fonksiyonunun x a'ya soldan ve sağdan yaklaşırken aldığı değerleri yazalım. Soldan limit için x küçüktür a dalını, sağdan limit içinse x büyüktür a dalını kullanıyoruz.
Elde ettiğimiz bu denklemi çarpanlarına ayırarak daha sade bir hale getirelim. Bunun için tüm terimleri bir tarafa toplayalım.
Denklemin Çarpanlara Ayrılması
Sol taraftaki a kare eksi n ifadesini, iki kare farkı şeklinde yazabiliriz. Burada n değerini, kök n'in karesi olarak düşüneceğiz.
Sağdaki a eksi kök n ifadesini de sola atıp ortak paranteze alalım.
Şimdi her iki terimde de ortak olan a eksi kök n parantezine alırsak, denklemimiz bu şekle dönüşür.
Şimdi de süreklilik koşuluna bakalım. Soruda f fonksiyonunun x eşittir a noktasında sürekli olmadığı söyleniyor. Sürekli olmaması, limit değerinin o noktadaki fonksiyon değerine eşit olmaması demektir.
Süreklilik ve Limit İlişkisi
Fonksiyonun x eşittir a'daki değeri sıfır olarak verilmiş. Bu durumda limit değerimiz sıfıra eşit olamaz.
Buradan a değerinin, kök n değerine eşit olamayacağı sonucuna ulaşırız. Bu çok kritik bir bilgi!
Bir önceki adımda elde ettiğimiz çarpım sıfıra eşitti. a, kök n'e eşit olamayacağına göre, çarpımın sıfır olabilmesi için ikinci çarpan sıfır olmalıdır.
Çözümün devamı Solvi’de
10 adım daha kilitli. Tamamını animasyonlu ve sesli anlatımla ücretsiz izle.
Fotoğrafını çek, her soruyu böyle çöz.
Çözümün Devamını Ücretsiz İzle
İndirmesi ücretsiz · İlk çözümler hediye
