Süreklilik ve İntegral Özellikleri Sorusu

Merhaba arkadaşlar! Bu soruda, gerçel sayılar kümesinde sürekli bir f fonksiyonu verilmiş ve bir integral eşitliği kullanılarak a artı b toplamını bulmamız isteniyor.

f fonksiyonunun gerçel sayılar kümesinde sürekli olması, kritik nokta olan x eşittir iki noktasında da sürekli olduğu anlamına gelir.

Şimdi bu limit değerlerini hesaplayalım. Soldan limit için üstteki parçayı, sağdan limit için ise alttaki parçayı kullanacağız.

x yerine iki yazdığımızda, sol taraf altı eksi altıdan sıfır olur. Sağ taraf ise iki a eksi b olur.

Buradan sıfır eşittir iki a eksi b, yani b eşittir iki a bağıntısını elde ederiz. Bu önemli ilişkiyi daha sonra kullanmak üzere aklımızda tutalım.

Şimdi integral eşitliğinin sol tarafını, yani sıfırdan dörde f x de x integralini hesaplayalım. Fonksiyonumuz iki noktasında parçalandığı için bu integrali iki parçaya ayıralım.

Sıfır ile iki aralığında fonksiyonumuz altı eksi üç x kare bölü iki şeklindedir. İki ile dört aralığında ise a x eksi b fonksiyonunu kullanırız.

Şimdi bu iki integrali ayrı ayrı hesaplayalım. İlki için integral aldığımızda altı x eksi x küp bölü iki elde ederiz. Sınırlarımız sıfır ve iki.

x yerine iki yazdığımızda on iki eksi dörtten sekiz buluruz.

Şimdi de ikinci parçayı hesaplayalım. b yerine iki a yazarak integrali tek değişkene bağlı hale getirelim.