Süreklilik ve Fonksiyon Tanımı

Merhaba Elif. Bu soruda parçalı bir fonksiyonun tüm gerçel sayılar kümesinde sürekli olduğu verilmiş ve a ile b tam sayılarının toplamının en küçük değeri soruluyor.

Fonksiyonun sürekli olması için kritik noktalarda, yani x eşittir a ve x eşittir b noktalarında sağ ve sol limitlerin birbirine ve o noktadaki fonksiyon değerine eşit olması gerekir.

Önce x eşittir a noktasındaki sürekliliği inceleyelim. x eşittir a için sol limit mutlak değer içinde iki a artı a ifadesidir. Sağ limit ise dört a eksi a olur.

İfadeleri yerlerine yazalım. Mutlak değer içinde üç a, eşittir üç a denklemine ulaşırız.

Mutlak değer içindeki bir ifade kendisine eşitse, o ifade sıfırdan büyük veya eşittir. Buradan üç a büyük eşittir sıfır, yani a büyük eşittir sıfır sonucuna varırız.

Şimdi x eşittir b noktasındaki sürekliliğe bakalım. Sol limit olan dört b eksi a, sağdaki sabit terim olan iki a eksi bir çarpı b bölü ikiye eşit olmalı.

Paydadaki ikiyi karşıya çarpım olarak atalım. Sekiz b eksi iki a, eşittir iki a be eksi be olur.

Benzer terimleri bir araya toplayalım. Eksi beyi sola, eksi iki ay sağa atarsak dokuz b eksi iki ab eşittir iki a buluruz.

Sol tarafı b parantezine alırsak, b çarpı parantez içinde dokuz eksi iki a, eşittir iki a elde edilir.

Buradan beyi yalnız bırakırsak b eşittir iki a bölü dokuz eksi iki a olur.