Süreklilik ve Fonksiyon Limitleri
Yayınlanma:
tanımlı $f$ fonksiyonunun grafiği aşağıda verilmiştir.
$a$ ve $b$ gerçel sayılar olmak üzere
$$g(x) = \begin{cases} \log_3(f(x) - a), & x < 2 \\ \log_2(f(x)) = 2, & x = 2 \\ \log_5(b + f(x)), & x > 2 \end{cases}$$
şeklinde tanımlanan $g$ fonksiyonunun gerçel sayılar kümesi üzerinde sürekli olduğu bilinmektedir.
Buna göre $a + b$ toplamı kaçtır?
A) -11 B) -8 C) 13 D) 19 E) 21
Soruda görsel içerik var: Koordinat düzleminde $f(x)$ fonksiyonunun grafiği verilmiştir. $x < 2$ aralığında fonksiyon azalan bir doğrudur ve $x \to 2^-$ limiti 1 değerine gitmektedir. $x=2$ noktasında fonksiyon 4 değerini almaktadır. $x > 2$ aralığında fonksiyon artan bir doğrudur ve $x \to 2^+$ limiti 4 değerine gitmektedir. Grafikte $x=2$ için y ekseninde 1 değerinde boş bir çember ve 4 değerinde dolu bir nokta ile gösterilmiştir.
Animasyonlu Video Çözüm
İlk yarısı ücretsiz izlenebilir, tamamı uygulamada.
Adım Adım Yazılı Çözüm
Merhaba Mevlüt, bu soruda g fonksiyonunun sürekli olmasını kullanarak a ve b değerlerini bulacağız.
Fonksiyonlarda Süreklilik
Bir fonksiyonun bir noktada sürekli olması için o noktadaki limitinin ve değerinin eşit olması gerekir. Yani g fonksiyonu x eşittir iki noktasında sürekliyse, soldan limit, sağdan limit ve g iki birbirine eşit olmalıdır.
Önce grafikten f fonksiyonunun kritik değerlerine bakalım. x ikiye soldan yaklaşırken f ikinin sol limiti bir değerine yaklaşıyor.
x ikiye sağdan yaklaşırken ise f iki noktasında dört değerine sahiptir ve sağdan limit değeri de dörttür. Ayrıca f iki değerinin de dört olduğunu görüyoruz.
Şimdi g fonksiyonunun x eşittir iki için tanımlanan değerini hesaplayalım.
g(2) Değerini Bulma
f iki değeri dört olduğu için, g iki değeri logaritma iki tabanında dörde eşit olur.
Dört, ikinin karesi olduğu için bu ifade ikiye eşittir.
Süreklilik şartına göre soldan limit de ikiye eşit olmalıdır. g fonksiyonu x ikiden küçükken logaritma üç tabanında f eksi a olarak tanımlanmış.
Soldan Limit Kontrolü
f ikinin sol limitinin bir olduğunu bulmuştuk. Yerine yazarsak logaritma üç tabanında bir eksi a eşittir iki denklemini elde ederiz.
Çözümün devamı Solvi’de
9 adım daha kilitli. Tamamını animasyonlu ve sesli anlatımla ücretsiz izle.
Fotoğrafını çek, her soruyu böyle çöz.
Çözümün Devamını Ücretsiz İzle
İndirmesi ücretsiz · İlk çözümler hediye
