Süreklilik ve Fonksiyon Bileşkesi
Yayınlanma:
$f(f(x)) = x^2 - x + 1$ eşitliğini sağlayan her $x \in \mathbb{R}$ için tanımlı sürekli bir $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ fonksiyonu var mıdır?
Animasyonlu Video Çözüm
İlk yarısı ücretsiz izlenebilir, tamamı uygulamada.
Adım Adım Yazılı Çözüm
Merhaba Irmak, şimdi bu fonksiyonel denklemi dikkatlice inceleyip böyle bir sürekli fonksiyonun var olup olmadığını araştıralım.
Problem
Bizden, tüm reel sayılar üzerinde tanımlı ve sürekli olan bir f fonksiyonu isteniyor. Ayrıca fonksiyon kendisiyle bileşince x kare eksi x artı bire eşit olmalı.
Amacımız sürekli bir $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ var mı sorusunu cevaplamak.
Bu tür sorularda en önemli fikir, sürekli fonksiyonların görüntü aralıklarının bağlantılı olmasıdır. Önce sağ taraftaki ifadeyi inceleyelim.
Kare tamamlarsak ifadenin en küçük değerini kolayca görebiliriz.
Buradan, x kare eksi x artı bir ifadesinin her zaman dörtte üçten büyük eşit olduğunu görüyoruz.
Şimdi görüntü kümesi fikrini kullanalım.
Görüntü Kümesi Analizi
f'nin görüntü kümesini A ile gösterelim. Yani A, f'nin alabileceği tüm değerlerin kümesi olsun.
f bileşke f ifadesi her zaman dörtte üçten büyük eşit olduğuna göre, f fonksiyonu A kümesi üzerinde çalıştığında elde edilen tüm değerler de dörtte üçten büyük eşit olmalıdır.
Ama dikkat edelim. A zaten f'nin tüm görüntü kümesiydi. Dolayısıyla f'nin A üzerindeki görüntüsü yine A olur.
O halde A kümesi tamamen dörtte üçten büyük eşit sayılardan oluşmalıdır.
Şimdi süreklilik bilgisini kullanalım.
Süreklilikten Gelen Sonuç
Reel sayılar kümesi bağlantılıdır. Sürekli bir fonksiyonun bağlantılı bir kümedeki görüntüsü de bağlantılı olur.
Bağlantılı bir kümenin sürekli görüntüsü yine bağlantılıdır.
Reel doğruda bağlantılı kümeler aralıktır. Demek ki A bir aralık olmalıdır.
Üstelik biraz önce A'nın dörtte üçten büyük eşit olduğunu bulmuştuk.
Şimdi kritik noktaya geldik. Eğer A'nın içinde bir sayı varsa, örneğin y varsa, o zaman y eşittir f t için bir t değeri vardır. Böylece f y değeri de x kare eksi x artı bir biçiminde yazılabilir.
Çözümün devamı Solvi’de
14 adım daha kilitli. Tamamını animasyonlu ve sesli anlatımla ücretsiz izle.
Fotoğrafını çek, her soruyu böyle çöz.
Çözümün Devamını Ücretsiz İzle
İndirmesi ücretsiz · İlk çözümler hediye
