Siyah ve Beyaz Kutu Örüntüsü Sorusu
Yayınlanma:
4. Düz bir zemin üzerine küp şeklinde eş kutular aşağıdaki gibi belirli bir kurala göre birer köşeleri birbirine değecek biçimde yerleştirildikten sonra bazı kutular siyaha boyanmıştır.
[Görselde basamaklı siyah-beyaz kutu örüntüsü yer alıyor]
Siyah boyalı kutu sayısı, beyaz kutu sayısından 20 fazla olduğuna göre toplam kutu sayısı kaçtır?
A) 400 B) 421 C) 441 D) 443 E) 463
Soruda görsel içerik var: Görselde karelerden oluşan bir yapı dizisi bulunmaktadır. Kareler birbirlerine köşelerinden temas edecek şekilde basamaklı bir yapıda dizilmiştir. Bazı kareler siyah, bazıları beyazdır. Sol taraftaki ilk grupta en solda 3 dikey kare (siyah-beyaz-siyah şeklinde), yanlarında basamaklı artan bir yapı görülmektedir. Orta kısımda üç nokta (...) ile örüntünün devam ettiği belirtilmiştir. En sağdaki grupta ise yine basamaklı bir yapı ve en sağda tek bir siyah kare ile biten bir düzenek vardır. Örüntü dama tahtası benzeri bir siyah-beyaz dizilimine sahiptir.
Animasyonlu Video Çözüm
İlk yarısı ücretsiz izlenebilir, tamamı uygulamada.
Adım Adım Yazılı Çözüm
Merhaba Ceyda, haydi bu örüntü sorusunu birlikte çözelim.
Örüntü Problemi
Şekle baktığımızda, kutuların bir kurala göre üst üste dizildiğini ve dama tahtası gibi boyandığını görüyoruz. En altta kaç kutu olduğunu bilmediğimiz için bu sayıyı n harfiyle gösterelim.
Taban katmanındaki kutu sayısı: $n$
Şekil en üstte 1 kutu ile başlıyor ve her alt satırda kutu sayısı birer artarak tabana kadar iniyor.
Şimdi siyah ve beyaz kutuların sayısını inceleyelim. Toplam kutu sayısını S ile gösterirsek ve satır bazlı gidersek bir mantık kurabiliriz.
Siyah ve Beyaz Kutu Analizi
Dama düzeninde, toplam kutu sayısı tek olduğunda siyah kutu sayısı beyazdan 1 fazladır. Toplam kutu sayısı çift olduğunda ise eşittirler.
Soruda siyah kutuların beyazdan 20 fazla olduğu söylenmiş. Bu ancak örüntüdeki her satırın kendi içindeki farklarının toplamıyla mümkün olur.
| Satır | Siyah | Beyaz | Fark |
|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 0 | +1 |
| 2 | 1 | 1 | 0 |
| 3 | 2 | 1 | +1 |
| 4 | 2 | 2 | 0 |
Gördüğümüz gibi her tek numaralı satırda siyahlar 1 fazla çıkıyor, çiftlerde ise fark sıfır. Toplamda 20 fark oluşması için 20 tane tek numaralı satırımız olmalı.
Yani 1, 3, 5 gibi ilerleyen satırlardan sonuncusu 39. satır olmalıdır. Eğer n eşittir 39 ise toplamda 20 tane tek sayıdaki satırda fark birikmiş olur.
40. satırı ekleseydik fark değişmezdi çünkü 40 çift bir sayıdır ve orada siyah beyaz sayısı eşit olurdu. Şıklara bakarak n değerini netleştirelim.
Formülümüzü kullanarak n eşittir 39 için toplam kutu sayısını hesaplayalım.
Toplam Kutu Sayısı Hesabı
Çözümün devamı Solvi’de
9 adım daha kilitli. Tamamını animasyonlu ve sesli anlatımla ücretsiz izle.
Fotoğrafını çek, her soruyu böyle çöz.
Çözümün Devamını Ücretsiz İzle
İndirmesi ücretsiz · İlk çözümler hediye
