Sınırlı Fonksiyonlarda Limit Varlığı

Merhaba! Bu soruda, her iks gerçel sayısı için tanımlı bir f fonksiyonu verilmiş.

Fonksiyonun her zaman bir bölü iki ile üç arasında değerler aldığı söyleniyor.

Bu eşitsizlik, f fonksiyonunun yalnızca bu aralıkta değer alabileceğini ve her zaman pozitif olduğunu gösteriyor.

Şimdi birinci öncüle bakalım. İks bire giderken f(x) fonksiyonunun limitinin her zaman var olduğu iddia ediliyor.

Soruda verilen eşitsizlik, sadece fonksiyonun değer aralığını sınırlar. Fonksiyonun grafiğinin sürekli olup olmadığını bilemeyiz.

Örneğin, fonksiyon iks eşittir bir noktasında bir sıçrama yapabilir. Gördüğünüz gibi bir ve iki değerleri, istenen aralığa uyuyor ama fonksiyonun limitini bozuyor.

Bu durumda sağ ve sol limitler birbirinden farklı olur. Yani, fonksiyon o noktada limit sahibi olmayabilir. Birinci öncül her zaman doğru değildir.

İkinci öncüle geçiyoruz. İks üçe giderken iks bölü f(x)'in limitine bakalım.

Pay kısmındaki iks değeri üçe yaklaşır, burada bir sıkıntı yoktur.

Ancak paydadaki f(x) için iks eşittir üç noktasında limitin var olup olmadığını yine bilemeyiz.

Birinci öncülde olduğu gibi benzer bir kopukluk noktası varsa, kesrin limiti de var olmayacaktır. Bu ifade de her zaman doğru değildir.

Üçüncü öncüle gelelim. İks ikiye giderken, içinde f(x) ve onun mutlak değerinin bulunduğu bir ifadenin limitini inceliyoruz.

Öncelikle içerideki mutlak değerli f(x) kısmına odaklanalım.