Sayı Yerleştirme ve Aralarında Asallık Problemi

Merhaba Zelal, bu güzel matematik sorusunu birlikte adım adım çözerek açıklayalım. Öncelikle sorumuzu ve şeklimizi inceleyelim.

Bize dokuz, on bir, on üç, on beş ve on yedi sayıları verilmiş. Bu sayıları dairelerin içine yerleştireceğiz. Aralarında asallık durumlarını incelemek için önce asal çarpanlarına bakalım.

Burada dikkat etmemiz gereken çok önemli bir nokta var. Bu sayılar arasından sadece dokuz ve on beş sayıları aralarında asal değildir, çünkü ortak olarak üç sayısına bölünürler. Diğer tüm sayı çiftleri ise aralarında asaldır.

Şimdi şeklimizi çizelim ve dairelerin birbirleriyle olan bağlantılarını inceleyelim.

Gördüğümüz gibi ortadaki sarı boyalı daire, köşelerde bulunan diğer dört dairenin her biriyle bir doğru parçası vasıtasıyla doğrudan bağlantılıdır.

Bir doğru parçası ile bağlanan iki dairenin içindeki sayılar aralarında asal olmak zorundadır. Bu yüzden, boyalı daireye gelecek olan sayı, diğer dört daireye gelecek olan tüm sayılarla aralarında asal olmalıdır.

Eğer ortadaki boyalı daireye dokuz yazarsak, on beş sayısı köşelerden birine yazılmak zorundadır. Ancak dokuz ve on beş aralarında asal olmadığı için ve birbirine bağlı olacağı için bu durum kuralı bozar. Yani ortadaki sayı dokuz olamaz.