Sayı Doğrusunda Tam Sayılar ve Mutlak Değer

Merhaba Şeyma, gel bu güzel mutlak değer ve sayı doğrusu sorusunu birlikte çözelim.

Sayı doğrusuna baktığımızda a, c, b ve d noktalarının küçükten büyüğe sıralandığını görüyoruz. Ardışık noktalar arasındaki uzaklıklar birbirine eşitmiş. Bu mesafeye k diyelim.

Buradan c eşittir a artı k, b eşittir a artı iki k ve d eşittir a artı üç k yazabiliriz.

İkinci mutlak değerli ifadeye bakalım. a çarpı c'nin mutlak değeri eksi altı c'ye eşitmiş. Mutlak değer asla negatif olamaz, bu yüzden eksi altı c sıfırdan büyük veya eşit olmalı. Yani c sıfırdan küçük bir sayıdır.

c negatifse ve a, c'den daha soldaysa a da negatiftir. İki negatif sayının çarpımı pozitif olacağı için mutlak değer dışına aynen çıkar.

c sıfırdan farklı bir tam sayı olduğu için her iki tarafı c ile sadeleştirebiliriz. Buradan a'nın değerini eksi altı olarak buluruz.

Şimdi birinci eşitliği kullanalım. Mutlak değer içerisindeki a çarpı b artı kırk sekiz, eksi a çarpı b'ye eşitmiş. Bir ifade dışarıya işaret değiştirerek çıkıyorsa, o ifade sıfıra eşit veya küçüktür.

Ayrıca eşitliğin sağ tarafı, yani eksi a çarpı b, mutlak değer sonucu olduğu için pozitif olmalıdır. a negatif olduğu için b'nin pozitif olması gerekir.

Eşitliği çözmek için mutlak değerin içindeki ifadeyi eksi parantezine alıp dışarı çıkaralım.

Ancak burada bir çelişki oluşuyor. Bu durumda mutlak değerin içi sıfıra eşit olamaz. O halde a çarpı b artı kırk sekizin pozitif veya negatif olma durumlarını inceleyelim.

Denklemi düzenlersek, mutlak değer içinde kırk sekiz eksi altı b eşittir altı b olur.

Eğer b pozitifse ve sağ taraf da pozitifse, içerisi aynen veya eksili çıkabilir. İfadenin eksili çıkması durumunda kırk sekiz eksi altı b eşittir eksi altı b olur ki bu imkansızdır. O halde kırk sekiz eksi altı b, eksi altı b'ye eşit olmalıdır diyemeyiz. Altı b eşittir eksi parantezinde kırk sekiz eksi altı b'yi incelersek denklemi çözebiliriz.

Bu da bizi çözüme götürmez. Demek ki mutlak değerin içi negatifmiş. Yani kırk sekiz eksi altı b, eksi altı b'ye eşit değil, altı b'ye eşittir. Aslında mutlak değer özelliğinden dolayı altı b her zaman büyük eşit sıfır olmalı. b pozitif demiştik.