Sayı Bulmacası

Selam Gff, karelerin ve aralarında asallık kavramının olduğu güzel bir LGS sorusuyla beraberiz. Hadi adım adım çözelim.

Soruda dokuz tane eş kare verilmiş. Sarı karelerin her birine birbirinden farklı doğal sayılar yazacağız. Mavi karelere ise, kendisiyle komşu olan dört sarı karedeki sayıların çarpımını yazacağız.

Mavi karelerdeki sayıların aralarında asal olması isteniyor. Toplamın en az olması için mümkün olan en küçük sayıları seçmeliyiz.

Sol taraftaki mavi kareyi ve sağ taraftaki mavi kareyi çevreleyen sarı karelere isimler verelim. Ortadaki üç sarı kare her iki mavi kareyle de komşu olduğu için burası kritik.

Mavi kare bir, d, e, b ve a çarpımıdır. Mavi kare iki ise, yedi, dokuz, b ve c çarpımıdır. Aralarında asal olmaları için bu iki grubun ortak asal çarpanı olmamalıdır.

Bekle bir dakika, b sayısı her ikisinde de ortak. b'nin çarpımda etkisiz olması için b'ye mecburen bir vermeliyiz.

Mavi iki karesindeki sayıları çarpanlarına ayırırsak yedi ve dokuzun içindeki asallar üç ve yedidir.

Aralarında asal olması için Mavi bir tarafında üç ve yedi çarpanları asla bulunmamalıdır.

Şimdi elimizdeki küçük sayıları dağıtalım. Bir kullandık. İle, iki, dört ve beşi Mavi bir için kullanabiliriz. Çünkü bunlar üç ve yedi çarpanı içermiyor.

Şimdi c sayısını seçelim. Farklı doğal sayılar dediği için yukarıda kullandığımız iki, dört, beş ve biri kullanamayız. Ayrıca yedi ve dokuz zaten boardda var. En küçük boşta kalan sayı altıdır.

M1'in asalları 2 ve 5 oldu. 2 ve 5, 3 ve 7 ile ortak çarpan içermez. Harika! Şimdi c'ye odaklanalım.

c için seçeceğimiz sayı M1'in asalları olan iki ve beşi içermemeli. Altıyı eledik çünkü içinde iki var. Sekiz olmaz, iki var. On zaten olmaz. On bir asaldır ve uygundur.

Tüm sayıları yerleştirdik. Şimdi mavi karelerin değerlerini hesaplayalım.

Fakat toplama baktığımızda çok büyük bir sayı çıkıyor. Seçeneklere bakalım. Şıkları daha küçük tutmak için sayılarımızı tekrar düzenleyelim.

Eğer M iki daha küçük çıksın istersek c'ye en küçük değerleri vermeliyiz. c eşittir iki olsun. O zaman M bir tarafında iki çarpanı olamaz. M bir için beş, on bir, on üç gibi sayılar kalır.

Tekrar deneyelim. Ortak b her zaman bir. M iki çarpanları üç ve yedidir. Eğer c ye iki verirsek, M bir tarafında iki asalı olamaz.

M bir bu durumda beş çaprı on bir çarpı on üç olur ki bu da yüz yirmi altıdan çok büyüktür. Başka bir kombinasyon deneyelim. M ikiye en küçük sayıları verelim: c eşittir iki. M bir tarafına dört veremeyiz çünkü iki çarpanı var. Ama sekiz de veremeyiz.

Eğer c eşittir sekiz verirsek içine iki girer. En iyisi M bir tarafına iki nin kuvvetlerini, M iki tarafına üç ün kuvvetlerini toplamak.

En dengeli dağılımı bulalım. M iki zaten yedi ve üçe sahip. M bir için iki ve beş asallarını kullanalım. a eşittir iki, d eşittir dört, e eşittir sekiz olsun. M bir eşittir altmış dört. c için ise hiçbirinde olmayan en küçük yeni asalı, yani beşi seçelim.

Bu da büyük geldi. Şıklara odaklanalım. M bir için beş, M iki için iki asallarını deneyelim. a eşittir beş, d eşittir yirmi beş desek çok büyür. Demek ki asalları dağıtmalıyız.

Doğru kombinasyon: M bir'e beşi ve iki'yi verelim. a eşittir beş, d eşittir iki, e eşittir dört olsun. c'ye ise mecburen başka bir şey. Durun, M bir için 2, 4, 5 kullanalım: M bir kırk olur. M iki için c'ye 2, 3, 5, 7 olmayan en küçük sayı sekizi veremeyiz çünkü 2 var. O zaman c'ye 11 veririz.