Sarı boyalı bölgenin alanı

Question

27. Aşağıda $f(x) = -x^2 + 4x + 4$ ve $y = x$ fonksiyonlarının grafikleri verilmiştir.

[Grafik tasviri: Parabol ve doğru grafiği, sarı taralı bölge]

Koordinat sisteminde sarı boyalı bölgenin alanı kaç birimkaredir?

A) $\frac{16}{3}$ B) $\frac{32}{3}$ C) $\frac{40}{3}$ D) $\frac{56}{3}$ E) $\frac{64}{3}$

Solvi · Accepted Answer

Merhaba arkadaşlar! Bu soruda, eksi x kare artı dört x artı dört parabolü ile y eşittir x doğrusu arasında kalan sarı boyalı bölgenin alanını bulacağız. Sarı boyalı bölge, sol tarafta y ekseni yani x eşittir sıfır doğrusuyla, sağ tarafta ise iki fonksiyonun birinci bölgedeki kesişim noktasıyla sınırlanmıştır. Şimdi kesişim noktasını bulmak için bu iki fonksiyonu birbirine eşitleyelim. Tüm terimleri sağ tarafta toplayarak ikinci dereceden bir denklem elde edelim. Bu denklemi çarpanlarına ayırırsak, x eksi dört çarpı x artı bir eşittir sıfır sonucuna ulaşırız. Buradan köklerimiz x eşittir dört ve x eşittir eksi bir olarak bulunur. Şekilde gördüğümüz gibi sağ taraftaki kesişim noktası birinci bölgede olduğu için x eşittir dört değerini alacağız. Artık alanı veren belirli integrali kurabiliriz. Üstteki fonksiyondan alttaki fonksiyonu çıkaracağız. Yani eksi x kare artı dört x artı dört fonksiyonundan y eşittir x doğrusunu çıkarıp sıfırdan dörde entegre edeceğiz. İntegralin içindeki ifadeyi düzenleyelim. Dört x eksi x, bize üç x verecektir.

Sarı boyalı bölgenin alanı

Animasyonlu Video Çözüm

Adım Adım Yazılı Çözüm