Boyalı Bölgelerin Alanları Toplamı

Merhaba arkadaşlar! Bu videoda integral uygulamaları konusundan çok güzel bir alan hesabı sorusunu adım adım çözeceğiz.

Soruda bize üç farklı fonksiyonun grafiği verilmiş: yeşil doğru ye eşittir sekiz x, pembe doğru ye eşittir x ve mavi eğri ye eşittir bir bölü x kare.

Boyalı bölgelerin alanlarını bulmak için öncelikle bu fonksiyonların kesişim noktalarının apsislerini belirlememiz gerekiyor.

Öncelikle ye sekiz x doğrusu ile ye eşittir bir bölü x kare eğrisinin kesişimini bulalım. Bu iki ifadeyi birbirine eşitleriz.

Buradan içler dışlar çarpımı yaparsak sekiz x küp eşittir bir elde ederiz.

Her iki tarafın küp kökünü alırsak, x eşittir bir bölü iki olarak bulunur. Bu değer soldaki sınırımızdır.

Şimdi de ye eşittir x doğrusu ile ye eşittir bir bölü x kare eğrisinin kesişimini bulalım.

Yine içler dışlar çarpımı yaparsak x küp eşittir bir elde edilir.

Buradan x eşittir bir buluruz. Bu nokta da iki boyalı bölgenin sınır noktasıdır.

Bulduğumuz bu x değerlerini ve sınırları grafiğimizde yerine yerleştirelim ve her iki bölgenin alanını ayrı ayrı integral olarak ifade edelim.

İlk alanımız olan a bir, bir bölü iki ile bir aralığındadır. Bu bölgede üst sınır bir bölü x kare eğrisi, alt sınır ise ye eşittir x doğrusudur.

İkinci alanımız olan a iki ise, bir ile dört aralığındadır. Bu bölgede ise üst sınır ye eşittir x doğrusu, alt sınır ise bir bölü x kare eğrisidir.

Şimdi birinci bölgenin alanını yani a biri adım adım hesaplayalım.