Riemann Toplamı ve İntegral Karşılaştırma

Merhaba Diğdem, seninle birlikte bu harika integral ve alan sorusunu çözelim.

Öncelikle grafiği inceleyelim. Grafik sıfır altı kapalı aralığında tanımlı, pozitif değerli ve sürekli artan bir f fonksiyonuna aittir.

Grafik ile x ekseni arasında kalan bölgenin alanına A diyelim. Bu alan integral yardımıyla sıfırdan altıya f x d x integrali olarak ifade edilir.

Artan bir fonksiyonda, herhangi bir alt aralıkta fonksiyonun en büyük değeri ile oluşturulan dikdörtgenlerin alanları toplamı yani üst toplam, gerçek alandan her zaman daha büyüktür.

Şimdi birinci öncülü inceleyelim. Altı çarpı f altı değeri, tüm aralığı tek bir parça olarak düşündüğümüzde elde edilen üst toplam değeridir.

Genişliği altı birim olan bu tek aralığın sağ uç noktası yani maksimum noktası olan f altı yüksekliğiyle çizilen dikdörtgenin alanıdır.

Grafikten de görebileceğimiz üzere, gerçek alan A, bu büyük dikdörtgenin alanından kesinlikle daha küçüktür.

Dolayısıyla birinci öncül için alanımız bu değerden küçüktür ifadesi doğrudur.

Şimdi ikinci öncülü ele alalım. Üç çarpı f üç artı üç çarpı f altı ifadesini inceleyelim.

Bu ifadeyi incelemek için sıfır altı aralığını, sıfır üç ve üç altı olmak üzere üçer birim genişliğinde iki alt aralığa bölelim.