İntegral ile Alan Hesabı

Merhaba Mehmet, gel bu soruyu birlikte çözelim. Sorumuzda bizden, grafiklerde verilen yeşil ve mor bölgelerin alan ilişkisini kullanarak a değerini bulmamız isteniyor.

Öncelikle, iki fonksiyonun kesişim noktasını bularak sınırlarımızı netleştirelim. Bunun için iki fonksiyonu birbirine eşitliyoruz.

x küp eşittir on altı x denklemini çözelim. Tüm terimleri sol tarafa toplayalım.

Buradan x parantezine aldığımızda x çarpı x kare eksi on altı eşittir sıfır elde ederiz.

Birinci bölgede çalıştığımız için sıfırdan farklı olan pozitif kökü seçiyoruz. Bu da bize x eşittir dört değerini verir.

Harika! Demek ki fonksiyonlar orijinde ve x eşittir dört noktasında kesişiyorlar.

Şimdi bu durumu görselleştirelim. Grafik üzerinde mor ve yeşil alanları, kesişim sınırlarını ve x eşittir a doğrusunu görelim.

İlk olarak, sıfırdan dörde kadar olan toplam alanı belirli integral yardımıyla hesaplayalım.

İntegrali alalım. On altı x'in integrali sekiz x kare, eksi x küpün integrali ise x üzeri dört bölü dört olur.

Sınır değerlerini yerine yazalım. Üst sınır olan dört değerini yazdığımızda yüz yirmi sekiz eksi altmış dört buluruz. Alt sınır sıfırdır.

Buradan toplam alanın değerini altmış dört birimkare olarak buluyoruz.

Şimdi mor ve yeşil alanları harflendirerek aralarındaki ilişkiyi kuralım. Mor alanın değerine büyük S diyelim.

Yeşil alan ile mor alanın toplamı bize toplam alanı verir. Dolayısıyla, yeşil alanı altmış dört eksi S olarak yazabiliriz.