Boyalı Bölgenin Alan Hesabı
Yayınlanma:
26. Dik koordinat düzleminde, $f(x) = x^2 - 2x$ $g(x) = -x^2 + 4x$ fonksiyonlarının grafikleri ile x-ekseni arasında kalan boyalı bölge aşağıda verilmiştir. [Görsel] Buna göre, boyalı bölgenin alanı kaç birimkaredir? A) $17/3$ B) $19/3$ C) $20/3$ D) $22/3$ E) $23/3$
Soruda görsel içerik var: A coordinate system showing two parabolas. The parabola $y = x^2 - 2x$ opens upwards and passes through (0,0) and (2,0). The parabola $y = -x^2 + 4x$ opens downwards and passes through (0,0) and (4,0). A region shaded in yellow is bounded by the x-axis, the arc of $y = -x^2 + 4x$ from $x=0$ to $x=2$, and a line segment/arc from the origin to $x=2$ on the $y = x^2 - 2x$ curve. Actually, the shaded region is defined by the x-axis and the curve $y = -x^2 + 4x$ for $x ∈ [0, 2]$.
Animasyonlu Video Çözüm
İlk yarısı ücretsiz izlenebilir, tamamı uygulamada.
Adım Adım Yazılı Çözüm
Merhaba Nazire, bu soruda iki parabol ve x ekseni arasında kalan boyalı bölgenin alanını integral yardımıyla hesaplayacağız.
Boyalı Bölgenin Alanı
Öncelikle iki fonksiyonun kesişim noktasını bulalım. Bunun için fonksiyonları birbirine eşitliyoruz.
Tüm terimleri sol tarafta toplarsak iki x kare eksi altı x eşittir sıfır denklemini elde ederiz.
Bu denklemi iki x ortak parantezine alarak köklerini sıfır ve üç olarak buluruz. Grafik üzerinde de gördüğümüz gibi kesişim noktasının apsisi üçtür.
Şimdi boyalı bölgeyi x eksenindeki sınırlarına göre iki parçaya ayıralım.
Alanı İki Parçada İnceleyelim
* Birinci Bölge ($S_1$): $x = 0$ ile $x = 2$ arasında, üst sınır $g(x) = -x^2+4x$, alt sınır ise x-ekseni ($y=0$)'dir.
* İkinci Bölge ($S_2$): $x = 2$ ile $x = 3$ arasında, üst sınır $g(x) = -x^2+4x$, alt sınır ise $f(x) = x^2-2x$'dir.
Birinci bölgenin alanını veren integrali yazalım.
İntegrali alırsak, eksi x küp bölü üç artı iki x kare ifadesinde sınırları yerine koyacağız.
İki değerini yerine yazdığımızda, eksi sekiz bölü üç artı sekizden, birinci alanı on altı bölü üç olarak buluruz.
Çözümün devamı Solvi’de
7 adım daha kilitli. Tamamını animasyonlu ve sesli anlatımla ücretsiz izle.
Fotoğrafını çek, her soruyu böyle çöz.
Çözümün Devamını Ücretsiz İzle
İndirmesi ücretsiz · İlk çözümler hediye
