Rasyonel Köklü İkinci Derece Denklemler

Merhaba! Bu soruda a ve b birbirinden farklı pozitif tam sayılar olarak verilmiş. Verilen ikinci dereceden denklemin köklerinin rasyonel olması için gereken şartları inceleyeceğiz.

Öncelikle bize verilen denklemi düzenleyelim. Parantezi dağıtarak standart form olan i kincidereceden denklem formuna getirelim.

x'i parantez içine dağıttığımızda, a x kare artı b x, artı b x, artı a eşittir sıfır elde ederiz.

Benzer terimleri toplarsak, denklemimiz a x kare artı iki b x artı a eşittir sıfır şekline dönüşür.

Köklerin rasyonel olması için, diskriminantın yani deltanın bir tam kare olması gerekir. Çünkü kök formülündeki kök deltadan kurtulmamız lazım.

İfadeyi basitleştirelim. Delta eşittir dört b kare eksi dört a kare olur.

Burayı dört parantezine alırsak, b kare eksi a kare çarpı dört elde ederiz. Bunun bir tam kare, diyelim ki k kare olması gerekiyor.

Dört zaten bir tam karedir. O halde köklerin rasyonel olması için b kare eksi a kare farkının da bir tam kare olması şarttır. Buna m kare diyelim.

İki kare farkı özdeşliğini kullanalım. b eksi a çarpı b artı a eşittir m karedir. Şimdi şıklardaki a artı b toplamlarını denerken Pisagor üçlülerini hatırlayalım.

Birinci öncülde a artı b toplamı sekiz olabilir mi diye bakalım. a ve b farklı pozitif tam sayılar.