İkinci Dereceden Denklemler ve Kökler Kümesi

Merhaba Ceren, seninle birlikte bu harika soruyu adım adım çözelim. İlk olarak verilen denklemleri ve bu denklemlerin kökleri ile ilgili bilgiyi tahtaya yazarak başlayalım.

Soruda bize iki adet ikinci dereceden denklem verilmiş. Birinci denklemimiz, x kare artı a x artı b eşittir sıfır.

İkinci denklemimiz ise, x kare eksi b x artı c eşittir sıfır olarak verilmiş.

Bu iki denklemin köklerinin kümesi dört, iki ve altı elemanlarından oluşuyor. Bu küme üç elemanlı olduğuna göre, denklemlerin birer ortak kökü olmalıdır. Ortak köke r diyelim. Diğer kökler ise p ve q olsun.

Şimdi her iki denklem için kökler toplamı ve kökler çarpımı formüllerini yani Vieta formüllerini uygulayalım.

Birinci denklem olan x kare artı a x artı b eşittir sıfır için kökler r ve p'dir. Kökler toplamı eksi a'ya, kökler çarpımı ise b'ye eşittir.

İkinci denklem olan x kare eksi b x artı c eşittir sıfır için kökler r ve q'dur. Kökler toplamı b'ye, kökler çarpımı ise c'ye eşittir.

Her iki denklemde de b ortak katsayısını elde ettik. Buradan r çarpı p'nin, r artı q'ya eşit olması gerektiğini görebiliriz.

Harika! Şimdi, dört, iki ve altı elemanlarından oluşan kökler kümemizi bu eşitlikte yerine koyarak deneyelim. Ortak kök r eşittir iki olsun.