Rasyonel Eşitsizliklerde Bilinmeyen Katsayıları Bulma

Merhaba, bugün bir eşitsizlik sorusu çözeceğiz. Verilen eşitsizliğin çözüm kümesini kullanarak m artı n toplamını bulacağız.

Eşitsizliğimiz, x kare eksi m kare artı bir x artı n bölü eksi x artı m, küçüktür sıfır şeklinde. Çözüm kümesinin sınır değerleri aslında pay ve paydanın kökleridir.

Çözüm kümesi eksi üç bir açık aralığı ile dokuz sonsuz açık aralığının birleşimi olarak verilmiş.

Bu demektir ki köklerimiz eksi üç, bir ve dokuzdur. Paydanın köküne bakalım. Eksi x artı m eşittir sıfır denklemini çözersek x eşittir m buluruz.

Payın köklerini ise ikinci dereceden denklem formundan görebiliriz. Kökler toplamı m kare artı birdir. Kökler çarpımı ise n'dir.

Şimdi kök tablosunu düşünelim. Baş katsayıları inceleyelim: Payın baş katsayısı artı bir, paydanın baş katsayısı eksi birdir. Artının eksiye bölümü eksidir.

Tabloya en sağdan eksi ile başlarız. Köklerde işaret değiştirerek sola doğru ilerleriz: eksi, artı, eksi, artı.

Eşitsizlik küçüktür sıfır olduğu için eksi bölgeleri tararız. Buradan çözüm kümesi eksi üç bir açık aralığı ile dokuz sonsuz açık aralığı çıkar. Bu da soruda verilenle tam örtüşüyor.

Kökler kümemiz eksi üç, bir ve dokuzdur. Payın kökler toplamı x bir artı x iki, m kare artı birdi. Buradaki hangi iki kökü toplarsak bir kare artı bire ulaşabiliriz diye düşünelim.