Pozitif Terimli Geometrik Dizi Problemi

Merhaba arkadaşlar. Bugün birlikte pozitif terimli bir geometrik dizi sorusu çözeceğiz. Soruda bize ilk iki terim toplamı on iki ve ilk altı terim toplamı iki yüz elli iki olarak verilmiş. Bizden dizinin üçüncü terimi isteniyor.

Öncelikle geometrik dizi için temel formüllerimizi hatırlayalım. Bir geometrik dizinin genel terimi a n eşittir a bir çarpı r üzeri n eksi bir şeklindedir. İlk n terim toplamı ise S n ile gösterilir.

Bize verilen bilgileri bu formüllere yerleştirelim. İlk iki terim toplamı yani S iki on ikiye eşitmiş.

Aynı şekilde ilk altı terim toplamı olan S altı da iki yüz elli iki olarak verilmiş.

Bu iki denklemi birbirine oranlayarak ortak çarpan olan r'yi bulmaya çalışalım. S altı bölü S iki ifadesini yazalım.

Burada a birler ve bir eksi r ifadeleri sadeleşir. Geriye bir eksi r üzeri altı bölü bir eksi r kare kalır. İki yüz elli iki bölü on iki ise yirmi bir yapar.

Sol taraftaki ifadeyi iki kare farkı veya küp açılımı gibi düşünürsek, r karenin küpü olarak görebiliriz. Bir eksi r üzeri altı ifadesini bir eksi r kare çarpı bir artı r kare artı r üzeri dört şeklinde açabiliriz.

Bir eksi r kareler sadeleştiğinde elimizde r'ye bağlı ikinci dereceden bir denklem kalır: bir artı r kare artı r üzeri dört eşittir yirmi bir.