Pozitif Tam Sayılarda Denklem Çözümü

Merhaba Atakan, bu güzel soruyu birlikte çözelim. Öncelikle, verilen eşitliği düzenleyerek çarpanlara ayırma yöntemini uygulayabileceğimiz bir form elde edelim.

Verilen denklemde, tüm bilinmeyenli terimleri eşitliğin sol tarafına toplayalım. Böylece sağ tarafta sadece sabit sayı kalacaktır.

Bilinmeyenleri sola aldığımızda ifademiz iki a kare, eksi beş a be, eksi üç b kare eşittir yüz yirmi şekline dönüşür.

Şimdi sol taraftaki bu ikinci dereceden ifadeyi çarpanlarına ayıralım. İki a kareyi, iki a ve a olarak; eksi üç b kareyi de artı b ve eksi üç b olarak düşünebiliriz.

Çapraz çarptığımızda eksi altı a be ile artı a be'nin toplamı ortadaki terim olan eksi beş a be'yi verir. Demek ki çarpanlara ayrılmış hali doğrudur.

O halde denklemimizi şu şekilde yazabiliriz: iki a artı b ile a eksi üç b'nin çarpımı yüz yirmiye eşittir.

Şimdi bu iki çarpana yeni değişkenler atayalım. Birinci çarpana x, ikinci çarpana ise y diyelim.

Bu durumda x çarpı y eşittir yüz yirmi olur. a ve b pozitif tam sayılar olduğu için, x kesinlikle pozitif bir tam sayıdır. Çarpımları pozitif olduğu için y de pozitif bir tam sayı olmalıdır.

Ayrıca a ve b pozitif olduğu için, iki a artı b her zaman a eksi üç b'den büyük olacaktır. Yani x sayısı y'den büyüktür.

Şimdi a ve b'yi x ve y cinsinden yalnız bırakalım. Kurduğumuz denklem sistemini alt alta yazalım.

İkinci denklemi üç ile çarpıp birinci denklemle toplarsak, b terimleri birbirini götürür ve a değerini buluruz.

Buradan b'yi yalnız bırakırsak x eksi iki ye bölü yedi elde ederiz. a ise üç x artı ye bölü yediye eşit olur.