Pozitif Tam Sayılarda Denklem Çözümü
Yayınlanma:
ÖĞREN 2
x ve y pozitif tam sayılardır.
$60 \cdot x^2 = y^3$ olduğuna göre, x + y toplamının alabileceği en küçük değer kaçtır?
A) 30 B) 60 C) 90 D) 105 E) 120
Soruda görsel içerik var: The image contains a mathematical problem with handwritten annotations. The annotation on the left shows the prime factorization of 60 ($60 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5$). Below the main question text, there is a partially written equation: $2^2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot x^2 = y^3$.
Animasyonlu Video Çözüm
İlk yarısı ücretsiz izlenebilir, tamamı uygulamada.
Adım Adım Yazılı Çözüm
Merhaba Tutku, gel bu soruyu birlikte çözelim. İlk olarak soruda bize verilen bilgileri inceleyelim.
Soru Çözümü
$x$ ve $y$ pozitif tam sayılardır.
$60 \cdot x^2 = y^3$
Bu eşitlikte x artı y toplamının en küçük değerini bulmak için öncelikle altmış sayısını asal çarpanlarına ayıralım.
60 Sayısının Asal Çarpanları
Harika. Şimdi altmış sayısının bu asal çarpanlarını denklemde yerine yazalım.
Denklemin Düzenlenmesi
Eşitliğin sağ tarafı y'nin küpü, yani bir tam küptür. Dolayısıyla, sol taraftaki tüm asal çarpanların üslerinin de üçün bir katı olması gerekir.
Eşitliğin sol tarafındaki her asal çarpanın üssü 3'ün katı olmalıdır.
Bu koşulu sağlamak için x sayısını asal çarpanları cinsinden yazalım. x'in iki üssü a, üç üssü b ve beş üssü c şeklinde olduğunu varsayalım.
x Sayısının Asal Çarpanları
$x = 2^a \cdot 3^b \cdot 5^c$ biçiminde olsun.
Şimdi bu ifadeyi ana denklemimizde yerine yazarak düzenleyelim.
Çarpanları tabanları ortak olacak şekilde birleştirdiğimizde, üsleri toplarız.
Şimdi her bir asal çarpanın üssünü ayrı ayrı inceleyerek, onları üçün katı yapacak en küçük pozitif tam sayı değerlerini bulalım. İlk olarak iki tabanına bakalım.
Üslerin Analizi
1) $2$ tabanı için:
Üs: $2 + 2a$ ifadesi $3$'ün katı olmalıdır.
a eşittir sıfır ve bir için bu ifade üçün katı olmaz. Ancak a eşittir iki için iki artı dört, altı eder ve bu da üçün bir katıdır.
Çözümün devamı Solvi’de
9 adım daha kilitli. Tamamını animasyonlu ve sesli anlatımla ücretsiz izle.
Fotoğrafını çek, her soruyu böyle çöz.
Çözümün Devamını Ücretsiz İzle
İndirmesi ücretsiz · İlk çözümler hediye
