Polinomun Gerçel Kökü ve Katsayılar

Merhaba arkadaşlar. Bugün polinomlar ve kök bulma ile ilgili harika bir AYT sorusuyla karşınızdayım.

Elimizde üçüncü dereceden bir P(x) polinomu var ve a ile b birer tam sayı olarak verilmiş.

Soruda çok kritik bir bilgi verilmiş: P (1) eşittir sıfır. Bu, bir sayısının bu polinomun kökü olduğu anlamına gelir.

P (1) değerini polinomda yerine yazarak a ve b arasındaki bağıntıyı bulalım.

Bir artı a artı b eksi iki eşittir sıfır denkleminden, a artı b eksi bir eşittir sıfır elde ederiz.

Buradan b'yi a cinsinden yazarsak, b eşittir bir eksi a olur. Bunu polinomda yerine yerleştirelim.

Polinomu x eksi bir çarpanına bölerek diğer çarpanları bulmaya çalışalım çünkü birin kök olduğunu biliyoruz.

Polinomu x eksi bire bölmek için b yerine bir eksi a yazıp çarpanlarına ayıralım.

Polinomda x kareli terimleri ve sabit terimleri gruplayalım. Ya da doğrudan bölme yaparsak...

Bu ifadeyi x eksi bir ortak parantezine alalım. İlki x eksi bir çarpı x kare artı x artı bir olur.

Şimdi x eksi bir parantezine alırsak, içeride x kare artı x artı bir, artı a x, artı bir kalır.

Polinomun son hali bu oldu. Soruda sadece bir tane gerçek kökü olduğu söylenmişti.