Polinomun Gerçel Kökü ve Katsayı Analizi

Selam Melisa, 2023 AYT sınavında çıkan bu güzel polinom sorusunu birlikte çözelim.

Elimizde üçüncü dereceden bir P x polinomu var ve verilere göre bu polinomun sadece bir tane gerçel kökü varmış.

P birin sıfıra eşit olduğu söylenmiş. Bu bilgi bize birin bu polinomun bir kökü olduğunu söyler.

Buradan a artı b eksi bir eşittir sıfır denklemini elde ederiz.

Yani b değerini a cinsinden ifade edersek, b eşittir bir eksi a olur.

P x polinomunun bir kökü bir olduğuna göre, polinomu x eksi bir çarpanı ile bölebiliriz.

Bölme işlemini yaptığımızda veya katsayıları eşitlediğimizde, ikinci dereceden olan Q x çarpanını bulalım.

İşlemi kontrol edelim. Sabit terim eksi iki olması için sondaki sayı artı iki olmalı. Orta terimleri çarptığımızda denklem sağlanıyor.

Şimdi çok kritik bir noktadayız. Soruda sadece bir tane gerçel kökü olduğu belirtilmişti.

Bizim zaten x eşittir bir kökümüz var. O zaman Q x çarpanından yeni bir gerçel kök gelmemeli.

İkinci dereceden bir denklemin gerçel kökü yoksa diskriminantı yani deltası sıfırdan küçüktür.

İfadeleri açalım. a artı birin karesi, eksi sekiz, küçüktür sıfır olur.