Polinomlarda Türev ve Eşitsizlik Sorusu

Merhaba Esra, AYT seviyesinde harika bir polinom sorusuyla karşı karşıyayız. Hadi adım adım çözelim.

İlk olarak polinomun derecesini belirleyelim. P x polinomunun derecesi n olsun.

Eşitliğin sol tarafındaki ifadenin derecesini hesaplayalım. m carpi P x carpi x kare ifadesinin derecesi n artı iki olur.

Sağ tarafta P'nin türevinin karesi var. Türevin derecesi n eksi bir, bunun karesi ise iki n eksi iki olur.

Bu iki değer birbirine eşit olmalıdır. n artı iki eşittir iki n eksi iki denkleminden, n değerini dört olarak buluruz. Yani polinomumuz dördüncü dereceden.

P x polinomunun baş katsayısı k ve kökleri sıfırdan farklı tam sayılar olarak verilmiş.

Denkleme geri dönelim. Eğer polinomun farklı kökleri olsaydı, türevin karesi bu kökleri aynı şekilde kapsayamazdı. Bu yapı tam kare bir ifadeyi işaret ediyor.

Türevin karesi olması, P x çarpı x karenin tam kare olması demektir. Bu durumda köklerin çift katlı olması gerekir. Köklerimiz de tam sayı olduğuna göre x bir eşittir x iki ve x üç eşittir x dört diyebiliriz.

Köklerden biri sıfır olamayacağına göre, denklemin solundaki x kare terimi türevin içindeki sabit terimden gelmeli. Bu durum ancak köklerin birbirine eşit olmasıyla, yani tek bir noktada teğetlik veya simetri ile mümkündür.

Türevi alalım. P üssü x, dört k çarpı x eksi a'nın küpü olur.

Şimdi eşitsizliğe bakalım. P x çarpı P üssü x büyük eşittir sıfır verilmiş.

Değerleri yerine yazarsak, dört k kare çarpı x eksi a'nın yedinci kuvveti büyük eşittir sıfır olur.

k kare pozitif olduğu için, x eksi a büyük eşittir sıfır, yani x büyük eşittir a sonucuna ulaşırız.