Polinomlarda İşlemler ve Bileşke

Merhaba. Bu soruda polinomların dereceleriyle ilgili harika bir mantık yürüteceğiz. Verilen denklemleri inceleyelim.

Önce ikinci denkleme odaklanalım. P'nin içine Q x yazıldığında sonucun sabit bir sayı, yani on altı olduğunu görüyoruz.

Sorunun başında P x'in ikinci dereceden bir polinom olduğu söylenmiş. Eğer Q x en az birinci dereceden bir polinom olsaydı, P polinomunun içine yazıldığında bileşkeleri en az ikinci dereceden değişkenli bir sonuç verirdi.

Sonucun on altı gibi değişken barındırmayan sabit bir sayı çıkması, parantez içindeki Q x'in mecburen sabit bir polinom olması gerektiği anlamına gelir.

Bu yüzden Q x'e c gibi bir sabit sayı diyelim.

Şimdi Q x yerine c yazarak ilk denklemimizi tekrar düzenleyelim.

P x'i yalnız bırakırsak, dört x kare artı x eksi c elde ederiz. Dikkat edin, bu ifade şart koşulduğu gibi ikinci dereceden bir polinomdur.

Şimdi ikinci denklemi kullanalım. Q x'e c demiştik, o halde P c ifadesinin sonucu on altıya eşit olur.

Az önce bulduğumuz P x kuralında x gördüğümüz her yere c yazarak bu denklemi kuralım.

Buradaki artı c ve eksi c birbirini götürür. Geriye dört c kare eşittir on altı denklemi kalır.

Her iki tarafı dörde böldüğümüzde, c karesinin dört olduğunu buluruz.