Polinomlarda Eşitsizlik ve Katsayı Problemi

Merhaba Sema, bu güzel polinom sorusunu birlikte adım adım çözelim.

Soruda dördüncü dereceden bir P x polinomu ve derecesi ondan küçük olan bir Q x polinomu verilmiş. Bize verilen eşitsizlik üzerinden yeni bir fonksiyon tanımlayalım.

P x'in başkatsayısı bir ve derecesi dört olduğuna göre, derecesi daha küçük olan Q x çıkarıldığında H x de dördüncü dereceden ve başkatsayısı bir olan bir polinom olur.

Ayrıca her x gerçek sayısı için P x büyük eşittir Q x olduğu söylenmiş. Bu durumda H x her zaman sıfır veya sıfırdan büyük olmalıdır.

Verilen değerlere bakalım. P bir eşittir Q bir ise, H bir değerinin sıfır olduğunu anlarız.

Bir polinom her zaman sıfırdan büyük veya eşitse ve bir noktada sıfır oluyorsa, o nokta polinomun yerel minimum noktasıdır. Çift dereceli bir polinomda bu, o kökün çift katlı olması demektir.

Yani H x polinomunun içinde x eksi birin karesi çarpan olarak bulunmalıdır.

Şimdi ikinci veriye bakalım. P iki eşittir Q iki artı dokuz verilmiş. Buradan H iki değerinin dokuza eşit olduğunu görüyoruz.

Üçüncü veri ise H üç değerinin n sayısına eşit olduğunu söylüyor.

H x dördüncü dereceden ve başkatsayısı bir olduğu için, x eksi birin karesi çarpanını cebimize koyup genel formunu yazalım. Diğer çarpan da dördüncü dereceye tamamlamak için ikinci dereceden bir ifade olmalı.

Fakat unutmayalım ki H x her zaman sıfırdan büyük olmalı. Bu yüzden ikinci çarpanın da daima pozitif veya sıfır olması gerekir.

H iki eşittir dokuz bilgisini kullanarak a ve b arasındaki ilişkiyi bulalım. İki eksi birin karesi çarpı, dört artı iki a artı b olur.