Polinomlarda Çarpma ve Toplama İşlemleri

Merhaba! Karşımızda polinomların derecelerini ve çarpanlarını harika bir şekilde sorgulayan bir soru var.

Verilen çarpım eşitliğine bakarsak, sağ taraftaki ifadenin derecesinin dört artı ikiden altı olduğunu görüyoruz. Yani P ve Q'nun dereceleri toplamı altıdır.

Ancak P ve Q polinomlarının toplamının derecesi ise soruda iki olarak verilmiş.

Eğer bu iki polinomun dereceleri birbirinden farklı olsaydı, toplamın derecesi hep büyük olanın derecesine eşit olurdu. Fakat toplam derecesi iki iken çarpımları altı olamazdı.

Bu çelişkiden kurtulmanın tek yolu, her iki polinomun derecesinin birbirine eşit olması ve en büyük dereceli terimlerin birbirini götürmesidir. İkisi de üçüncü dereceden olmalı!

Şimdi bu üçüncü dereceden polinomların çarpanlarını belirleyelim. Çarpım durumundaki ifadede dört tane x eksi bir, iki tane de x eksi iki çarpanı var.

Toplamda altı çarpanımız var ve bunları P ve Q polinomlarına üçüncü derece olmaları için üçer üçer paylaştırmalıyız. Üç farklı dağılım ihtimali yazabiliriz.

Birinci durum: P polinomu üç tane x eksi bir çarpanı alırken, Q polinomu kalan bir tane x eksi bir ile iki tane x eksi ikiyi alabilir.

İkinci durum: Tam tersi olarak, P polinomu x eksi ikileri alıp Q polinomu da sadece x eksi birleri toplayabilir.

Üçüncü durum P ve Q'nun tamamen aynı çarpanları ikişer ve birer adet olarak almasıdır.

Fakat toplamın ikinci dereceden olması için x küplü baş katsayıların zıt işaretli olacağını, bu durumda aynı olan polinomların birbirini tamamen sıfırlayacağını unutmayalım. Bu yüzden üçüncü duruma elveda diyoruz.

Gelin birinci duruma odaklanalım ve soruda verilen P üç eşittir eksi on altı bilgisini kullanalım.

P polinomunda x yerine üç yazıyoruz.