Polinomlarda Çarpanlara Ayırma ve Derece Analizi

Merhaba Belinay, gel bu zorlayıcı polinom sorusunu birlikte adım adım çözelim.

Soruda P x ve Q x polinomlarının toplamının ikinci dereceden olduğu, çarpımlarının ise altıncı dereceden bir ifade olduğu verilmiş.

Çarpım polinomu altıncı dereceden ise ve toplamları sadece ikinci dereceden ise, bu polinomların dereceleri hakkında ne söyleyebiliriz?

Eğer biri dördüncü, diğeri ikinci dereceden olsaydı toplam dördüncü dereceden çıkardı. Demek ki her iki polinom da üçüncü dereceden olmalı.

Üstelik toplamın derecesinin düşmesi için her iki polinomun baskatsayıları birbirinin zıttı olmalı, yani x küplü terimler birbirini yok etmeli.

Şimdi çarpım ifadesindeki çarpanları bu iki polinom arasında paylaştıralım. Çarpanlarımız x eksi birin dördüncü kuvveti ve x eksi ikinin karesi.

P x ve Q x polinomları üçüncü dereceden olduğuna göre, her birine üç adet çarpan düşmeli. Ayrıca çarpanların toplamı ikinci dereceye inmeli.

Mantıklı dağılım şu şekilde olabilir: Her birinde x eksi birin karesi ve x eksi iki çarpanı bulunursa her ikisi de üçüncü dereceden olur.

Çarpımlarının katsayısı eksi dört olduğuna göre a carpi b eksi dört olmalı.

Bize P üç değerinin eksi on altı olduğu verilmiş. Bu bilgiyi kullanarak a katsayısını bulalım.

Üç eksi bir iki eder, karesi dört. Üç eksi iki ise bir. Buradan dört a eşittir eksi on altı buluruz.

Yani a katsayısı eksi dörttür.

A carpi b eksi dört olduğuna göre, b katsayısı bir olmalıdır.

Artık Q x polinomunun tam kuralını biliyoruz.

Emin olmak için toplamın derecesini kontrol edelim. P x in baskatsayısı eksi dört, Q x inki bir. Toplayınca x küplü terimler gitmez. Demek ki bir hata yaptık.

Tekrar düşünelim. Toplamın derecesi ikinciye iniyorsa baskatsayılar birbirini yok etmeli. Yani a artı b sıfır olmalı.