Polinomlarda Çarpanlar ve Değer Bulma
Yayınlanma:
11. $P(x)$ ve $Q(x)$ gerçel katsayılı polinomlar olmak üzere $P(x) • Q(x)$ çarpımının dördüncü dereceden bir polinom olduğu ve,$$
P(x) + Q(x) = 2x^2(x - 4)$$
$$
P(1) = P(4) = Q(4) = 0$$
eşitliklerinin sağlandığı biliniyor.Buna göre Q(2) değeri kaçtır?A) - 4 B) - 3 C) - 1 D) 2 E) 4
Animasyonlu Video Çözüm
İlk yarısı ücretsiz izlenebilir, tamamı uygulamada.
Adım Adım Yazılı Çözüm
Merhaba Zeynep, bugün seninle bu polinom sorusunu adım adım çözeceğiz. Oldukça kapsamlı bir soru, iyi odaklanalım.
Polinomlar: Derece ve Kök Analizi
Soruda P ve Q polinomlarının çarpımının dördüncü dereceden olduğu söylenmiş. Bu, derecelerinin toplamının dört olduğunu gösterir.
Ayrıca toplama baktığımızda, toplamın üçüncü dereceden bir polinom olduğunu görüyoruz. Buradan polinomların derecelerinin 1, 2 veya 3 olabileceğini söyleyebiliriz.
Verilen kök bilgilerine bakalım. P bir ve P dört değerlerinin sıfır olduğunu biliyoruz. Yani x eksi bir ve x eksi dört, P polinomunun çarpanlarıdır.
Aynı şekilde Q dört değerinin de sıfır olduğu söylenmiş. Yani x eksi dört, Q polinomunun da bir çarpanıdır.
Şimdi dereceleri tahmin edelim. P ikinci dereceden, Q da ikinci dereceden olursa toplam dördüncü derece edebilir ancak çarpım dördüncü derece toplam üçüncü derece kuralına uyarlar.
Polinomların Kurulması
Verilen toplam denkleminde x yerine bir yazalım. P bir sıfır olduğu için sadece Q bir değerini elde ederiz.
P bir sıfır olduğundan, Q bir değerinin eksi altıya eşit olduğunu buluruz.
Şimdi toplam denklemine geri dönelim. P ve Q'nun toplamı x eksi dört parantezine alınabilir.
Buradan sadeleştirme yaparsak, parantez içindeki ifadenin iki x kareye eşit olması gerektiğini görürüz.
Dikkat ederseniz sağ taraf ikinci dereceden. O halde bu polinomların dereceleri toplamı üç değil, biri ikinci dereceden diğeri de ikinci dereceden olmalı ki çarpım dördüncü derece olsun.
P(x) ve Q(x) ikinci dereceden polinomlardır.
Toplama baktığımızda, a çarpı x eksi bir ile b çarpı x eksi k nın toplamı iki x kare olamaz çünkü bunlar birinci dereceden. O zaman P veya Q'dan biri üçüncü dereceden olmalı.
Derece Düzeltmesi
Çarpım 4. derece ise: (3. der ve 1. der) veya (2. der ve 2. der)
Eğer P üçüncü dereceden ise, çarpanları x eksi bir, x eksi dört ve bir tane de x eksi sıfır yani x olabilir.
Q ise birinci dereceden olmalı. Q nun çarpanı x eksi dört idi. O zaman Q x eşittir n çarpı x eksi dört olsun.
Şimdi toplamı yazalım: m çarpı x çarpı x eksi bir çarpı x eksi dört artı n çarpı x eksi dört eşittir iki x kare çarpı x eksi dört.
x eksi dertleri sadeleştirdiğimizde, m x kare eksi m x artı n eşittir iki x kare elde ederiz.
Polinom eşitliğinden, m değerinin iki olması gerektiğini görüyoruz.
Ancak sol tarafta eksi m x terimi var, sağda x li terim yok. Bu durumda eksi m sıfır olmalıydı ama m ikidir. Bir çelişki var mı?
Eksi m sıfır olmalı, fakat m eşittir iki. Demek ki Q da x li terim var!
Çözümün devamı Solvi’de
18 adım daha kilitli. Tamamını animasyonlu ve sesli anlatımla ücretsiz izle.
Fotoğrafını çek, her soruyu böyle çöz.
Çözümün Devamını Ücretsiz İzle
İndirmesi ücretsiz · İlk çözümler hediye
