Polinomlarda Bölünebilme Özelliği

Question

2. Katsayıları tam sayı olan P(x) polinomu için "a - b ifadesi daima P(a) - P(b) ifadesini tam böler." önermesinin doğru olduğu biliniyor. Katsayıları tam sayı olan bir P(x) polinomunda
- $P(5) = m$
- $P(m) = 12$
olduğununa göre, m tam sayısı kaç farklı değer alabilir?

A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5

Solvi · Accepted Answer

Merhaba Ceyda, hadi bu soruyu birlikte çözelim. Sorunun temelinde polinomların çok önemli bir özelliği yatıyor: a eksi b ifadesi daima P a eksi P b ifadesini tam böler. Bizden istenen m değerlerini bulmak için, P beş eşittir m ve P m eşittir on iki biligilerini kullanalım. Kuralda a yerine m, b yerine beş yazalım. P m yerine on iki, P beş yerine de m yerleştirdiğimizde bağıntımız şekilleniyor. Harika, elimizdeki anahtar bağıntı bu. m eksi beş, on iki eksi m ifadesini tam bölmeli. Bu durumun matematiksel anlamı, on iki eksi m sayısının m eksi beşe bölümünün bir tam sayı olması gerektiğidir. Bunu kesirli olarak ifade edelim. Bu kesri sadeleştirmek ve incelemeyi kolaylaştırmak için pay kısmını düzenleyelim. On iki eksi m ifadesini, m eksi beşe benzetecek şekilde, eksi parantezinde m eksi beş artı yedi formunda yazabiliriz. Şimdi bu ifadeyi ortak paydadan ayırıp iki ayrı kesrin toplamı şeklinde gösterelim. Birinci kısımdaki m eksi beşler sadeleşerek birbirini götürür ve o kısımdan eksi bir kalır. Bulduğumuz ifadeyi sade haliyle tekrar yazalım. Eksi bir artı, yedi bölü m eksi beş. Bu işlemin sonucunun mutlaka bir tam sayı olması gerekiyor.

Polinomlarda Bölünebilme Özelliği

Animasyonlu Video Çözüm

Adım Adım Yazılı Çözüm