Polinom ve Türevi Analizi

MathematicsCalculusZorYKS

Yayınlanma:

Soru

22. Aşağıda, başkatsayısı pozitif olan üçüncü dereceden bir $P$ polinom fonksiyonu ile bu fonksiyonun türevi olan $P'$ fonksiyonunun grafikleri verilmiştir.

[Grafik görüntüsü]

Bu fonksiyonlar ile ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:

- $P'$ fonksiyonunun grafiği ile x-ekseni arasında kalan sınırlı bölgenin alanı $4$ birimkaredir.

- $P$ fonksiyonunun grafiğine, $P'$ fonksiyonunun en küçük değerini aldığı noktanın apsisinden çizilen teğet doğrusunun denklemi $y = -3x + 6$'dır.

- $P$ fonksiyonu, $(x - 2)$ ile tam bölünmektedir.

Buna göre $P$ fonksiyonunun grafiği ile bu fonksiyonun yerel ekstremum noktalarından geçen doğru arasında kalan sınırlı bölgelerin alanları toplamı kaç birimkaredir?

A) $\frac{1}{4}$

B) $\frac{1}{2}$

C) $1$

D) $\frac{3}{2}$

E) $2$

Soruda görsel içerik var: Grafikte iki eğri bulunmaktadır. $y=P(x)$ siyah renkli, yerel maksimum ve minimum noktaları olan üçüncü dereceden bir polinom grafiğidir. $y=P'(x)$ kırmızı renkli, bir parabol şeklindeki türev grafiğidir. $P'(x)$ parabolü, $P(x)$'in yerel maksimum ve minimum noktalarının apsislerinden geçmektedir. $P'(x)$ ile x ekseni arasında kalan bölge vurgulanmıştır.

Animasyonlu Video Çözüm

İlk yarısı ücretsiz izlenebilir, tamamı uygulamada.

Adım Adım Yazılı Çözüm

1
Adım 1

Selam Ömer! Başkatsayısı pozitif olan üçüncü dereceden bir P polinomu ve onun türeviyle ilgili bu harika soruyu birlikte inceleyelim.

P(x) Polinom Analizi

2
Adım 2

Öncelikle P x fonksiyonunun üçüncü dereceden olduğunu biliyoruz. O halde türevi ikinci dereceden yani bir paraboldür.

$$P(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$$
$$P'(x) = 3ax^2 + 2bx + c$$
3
Adım 3

Soruda türev grafiği ile x ekseni arasındaki sınırlı bölgenin alanının dört birimkare olduğu söylenmiş. Bu bölge grafikteki çukur kısmıdır.

P' grafiği ile x ekseni arasındaki alan = 4

4
Adım 4

P' fonksiyonunun en küçük değerini aldığı yer, parabolün tepe noktasıdır. Bu noktadaki apsis, P fonksiyonuna çizilen teğetin eğimini verir.

Tepe noktası apsisi = r olsun.

$$y = -3x + 6 \implies P'(r) = -3$$
5
Adım 5

Parabolün tepe noktasındaki değeri eksi üç ise, parabolün denklemini tepe noktası formunda yazabiliriz.

$$P'(x) = k(x-r)^2 - 3$$
6
Adım 6

Parabolün x ekseniyle arasında kalan alan formülünü hatırlayalım. Kökler arası uzaklığın küpü çarpı başkatsayı bölü altı bize alanı verir.

$$\text{Alan} = \frac{|a| \times (\text{kökler arası mesafe})^3}{6} = 4$$
7
Adım 7

Şimdi parabolün köklerini bulalım. P üssü x'i sıfıra eşitlersek, köklerin r artı ve eksi karekök içinde üç bölü k olduğunu görürüz.

Parabol Analizi

$$k(x-r)^2 - 3 = 0 \implies (x-r)^2 = \frac{3}{k}$$
$$x = r \text{ ± } \text{√}(\frac{3}{k})$$
$$\text{Kökler arası mesafe} = 2 \times \text{√}(\frac{3}{k})$$
8
Adım 8

Alan formülünde yerine koyarsak, k değerini bulabiliriz.

$$k \times (2\text{√}(\frac{3}{k}))^3 \times \frac{1}{6} = 4$$
$$k \times \frac{8 \times 3\text{√} 3}{k\text{√} k} \times \frac{1}{6} = 4$$
$$\frac{4\text{√} 3}{\text{√} k} = 4 \text{ → } k = 3$$
9
Adım 9

K eşittir üç ise, türev fonksiyonumuz üç çarpı x eksi r'nin karesi eksi üç olur.

$$P'(x) = 3(x-r)^2 - 3$$
10
Adım 10

P fonksiyonunun yerel ekstremum noktaları, türevin kökleridir. Yani x eşittir r eksi bir ve x eşittir r artı bir noktalarıdır.

Ekstremum Noktaları

$$3(x-r)^2 - 3 = 0 \text{ → } (x-r)^2 = 1$$
$$x_1 = r-1, \text{ } x_2 = r+1$$

Çözümün devamı Solvi’de

9 adım daha kilitli. Tamamını animasyonlu ve sesli anlatımla ücretsiz izle.

Fotoğrafını çek, her soruyu böyle çöz.

App Store’dan indir Google Play’den edin

İndirmesi ücretsiz · İlk çözümler hediye

100K+Her gün çözülen soru
50K+Öğrenen öğrenci
4.8 ★App Store puanı

Soru Bilgileri

Ders
Mathematics
Konu
Calculus
Zorluk
Zor
Sınav
YKS
Soru Tipi
Çoktan Seçmeli

Benzer Sorular

Fonksiyonel İntegral Sorusu Calculus · Zor Süreklilik ve Belirsizlik Sorusu Calculus · Orta Fonksiyonun Değer Aralığı ve Türev İlişkisi Calculus · Zor Türev ve İntegral İlişkisi Calculus · Zor Yerel Minimum Noktası Belirleme Calculus · Orta Doğrusal Fonksiyon ve İntegral Calculus · Orta

Her soruyu saniyeler içinde çöz

Fotoğrafını çek, yapay zeka adım adım, sesli ve animasyonlu anlatsın.

App Store’dan indir Google Play’den edin
Solvi
Çözümün devamı uygulamadaİndirmesi ücretsiz · İlk çözümler hediye
İndir