Polinom ve Türev Problemi

Merhaba Mustafa, bu güzel AYT polinom ve türev sorusunu birlikte çözelim.

İlk olarak P(içsin) derecesine en diyelim. Verilen denklemi dereceler açısından inceleyelim.

Denklemin sol tarafının derecesi, polinoma x kare çarpımı geldiği için en artı iki olur. Sağ tarafın derecesi ise, türev alınca derece bir azaldığı ve karesi alındığı için iki çarpı parantez içinde en eksi birdir.

Bu denklemi çözersek, en artı iki eşittir iki en eksi iki olur. Buradan en değerini yani polinomun derecesini dört olarak buluruz.

Polinomun derecesinin dört olduğunu öğrendik. Şimdi katsayı ve kök ilişkisine bakalım. Başkatsayıyı ka olarak vermiş. Polinomun kökleri ise birbirinden farklı tam sayılar.

Verilen m çarpı P x çarpı x kare eşittir P türev x in karesi denkleminde, her iki tarafın en büyük dereceli terimlerini eşitleyelim.

Sol taraf m çarpı k çarpı x üzeri altı, sağ taraf ise on altı çarpı k kare çarpı x üzeri altı olur.

Buradan m eşittir on altı çarpı k olduğunu söyleyebiliriz. Ancak köklerin tam sayı olması ve denklemin yapısı bizi köklerin çakışık olduğu bir duruma yönlendirmeli.

Eğer P x eşittir k çarpı x eksi r üzeri dört olsaydı, türevi dört k çarpı x eksi r üzeri üç olurdu.

Denklemde yerine koyarsak: m çarpı k çarpı x eksi r üzeri dört çarpı x kare, eşittir on altı k kare çarpı x eksi r üzeri altı olur.

Bu eşitliğin her x için sağlanması imkansızdır çünkü sol tarafta x kare çarpanı varken sağda yoktur. O halde köklerden biri sıfır olmalıydı ama soruda köklerin sıfırdan farklı olduğu belirtilmiş.

Bu çelişkiyi aşmak için denklemi tekrar inceleyelim. Eğer P x, x eksi r karesi çarpı x eksi se karesi formunda olsaydı yine benzer sorunlar çıkardı. Orijinal denklemi P x bölü P türev x in karesi şeklinde düşünürsek, bu yapının bir üslü fonksiyon veya özel bir çözüm gerektirdiğini görürüz. Kökler tam sayı ve farklı dediği için aslında en basit durum köklerin simetrik dağılmasıdır.

Soruda P x çarpı P türev x büyük eşittir sıfır eşitsizliğini sağlayan dört farklı negatif tam sayı olduğu söyleniyor. Polinom dördüncü dereceden olduğu için türevi üçüncü derecedendir. Toplamda yedi kök bölgesi oluşur.

P x in pozitif başkatsayılı olduğunu biliyoruz. Negatif tarafta dört tam sayı olması için türev ve fonksiyonun işaretlerinin aynı olduğu bölgelere bakmalıyız. Bu ancak köklerin eksi bir, eksi iki, eksi üç ve eksi dört olmasıyla mümkündür.