Polinom ve Türev Grafiği İlişkisi

MathematicsPolynomials and DerivativesZorYKS

Yayınlanma:

Soru

Bir bilgisayar programında $P(x)$ ve $P'(x)$ polinomlarının grafikleri çizdirildikten sonra, x ekseni silinmiş ve aşağıdaki görüntü elde edilmiştir.

$P'(x)$ polinomunun baş katsayısı 4 olduğuna göre, $P(x)$ polinomunun sabit terimi kaçtır?

A) 9 B) 10 C) 11 D) 12 E) 13

Soruda görsel içerik var: A monitor shows a coordinate system with the x-axis hidden. There are two graphs: a red parabola representing $P(x)$ and a blue line representing $P'(x)$. On the y-axis (vertical line), a specific point where the blue line intersects is marked, and 19 units above it is a point on the parabola. Also, the distance between the vertex of the parabola and the blue line below it is marked as 3 units. The bottom of the screen indicates 'x ekseni: Kapalı (off)' and 'y ekseni: Açık (on)'. Icons at the top suggest the blue line is $P'$ and the red curve is $P$.

Animasyonlu Video Çözüm

İlk yarısı ücretsiz izlenebilir, tamamı uygulamada.

Adım Adım Yazılı Çözüm

1
Adım 1

Bu soruda, x ekseni gizlenmiş bir koordinat sisteminde P(x) parabolü ve P'(x) doğrusunun grafiklerini inceliyoruz. Hedefimiz P(x) polinomunun sabit terimini bulmak.

Verilenler ve Hedef

2
Adım 2

Grafiğe bakarak değişkenlerimizi tanımlayalım. Kırmızı eğri bir parabol olduğuna göre P(x) ikinci dereceden, mavi doğru ise onun türevi olduğu için birinci derecedendir.

$$P(x) = ax^2 + bx + c$$
$$P'(x) = 2ax + b$$
3
Adım 3

Soruda türev polinomunun baş katsayısının 4 olduğu verilmiş. P'(x)'in baş katsayısı 2a olduğuna göre, a'yı hemen bulabiliriz.

$$2a = 4 \implies a = 2$$
4
Adım 4

Bulduğumuz a değerini yerine koyup denklemlerimizi güncelleyelim.

5
Adım 5

Şimdi grafikteki ölçümleri kullanalım. Y ekseni üzerindeki kesişim noktaları arasındaki fark 19 birim olarak verilmiş. Bu, x=0 noktasındaki değerler farkıdır.

1. İpucu: y-ekseni (x=0)

19P(0) = cP'(0) = b
6
Adım 6

Parabol üstte, doğru altta olduğuna göre P(0) eksi P'(0) eşittir 19 diyebiliriz. Bu bize c ve b arasında ilk denklemi verir.

$$P(0) - P'(0) = 19$$
$$c - b = 19 \implies c = b + 19$$
7
Adım 7

Gelelim en kritik noktaya. Parabolün tepe noktasında dikey uzaklık 3 birim. Tepe noktasında türev sıfırdır. Yani P'(x) = 0.

2. İpucu: Tepe Noktası (r, k)

$$P'(r) = 0$$
8
Adım 8

Bu ne anlama geliyor? Tam tepe noktasının hizasında, mavi doğrunun değeri 0'dır. Yani grafikteki mavi nokta aslında x ekseni seviyesindedir.

Mavi doğru üzerindeki nokta x-eksenindedir ($y=0$).

9
Adım 9

Öyleyse, parabolün tepe noktasının x eksenine uzaklığı, yani P fonksiyonunun o noktadaki değeri 3'tür.

$$P(r) = 3$$
10
Adım 10

Şimdi bu bilgiyi işleme dökelim. Önce tepe noktasının apsisini, yani r değerini bulalım.

$$r = -\frac{b}{2a} = -\frac{b}{4}$$
11
Adım 11

Fonksiyonda x yerine eksi b bölü 4 yazdığımızda sonucun 3 çıkması gerekiyor.

$$P\left(-\frac{b}{4}\right) = 3$$
$$2\left(-\frac{b}{4}\right)^2 + b\left(-\frac{b}{4}\right) + c = 3$$

Çözümün devamı Solvi’de

10 adım daha kilitli. Tamamını animasyonlu ve sesli anlatımla ücretsiz izle.

Fotoğrafını çek, her soruyu böyle çöz.

App Store’dan indir Google Play’den edin

İndirmesi ücretsiz · İlk çözümler hediye

100K+Her gün çözülen soru
50K+Öğrenen öğrenci
4.8 ★App Store puanı

Soru Bilgileri

Ders
Mathematics
Konu
Polynomials and Derivatives
Zorluk
Zor
Sınav
YKS
Soru Tipi
Çoktan Seçmeli

Benzer Sorular

Polinom Fonksiyonun Kök Sayısı ve Katsayı İlişkisi Polynomials and Derivatives · Zor İkinci Dereceden Polinom Problemi Polynomials and Derivatives · Zor Üçüncü dereceden polinomda artan-azalanlık Polynomials and Derivatives · Orta Polinom Fonksiyon ve Türev Sorusu Polynomials and Derivatives · Zor İkinci Dereceden Fonksiyonun Türevi Polynomials and Derivatives · Zor Polinomlarda Derece Hesabı Polynomials and Derivatives · Orta

Her soruyu saniyeler içinde çöz

Fotoğrafını çek, yapay zeka adım adım, sesli ve animasyonlu anlatsın.

App Store’dan indir Google Play’den edin
Solvi
Çözümün devamı uygulamadaİndirmesi ücretsiz · İlk çözümler hediye
İndir