Polinom ve Limit Sorusu

Merhaba Beyza, bu güzel polinom ve limit sorusunu birlikte adım adım çözelim.

Soruda bize verilen temel eşitliği inceleyerek başlayalım.

Ayrıca her iki polinomun da katsayısı bir olan kendi içlerinde ikinci dereceden polinomlar olduğunu unutmayalım.

Polinomların köklerini ve dolayısıyla çarpanlarını bulmak için bu eşitliği kullanalım. Amacımız her iki tarafı sıfır yapan değerleri bulmak.

Önce eşitlikte x gördüğümüz yere sıfır yazalım.

Eşitliğin sol tarafı sıfıra dönüşür.

Bu da Q sıfırın sıfıra eşit olduğu anlamına gelir.

Şimdi de eşitliğin sağ tarafını sıfırlamak için x yerine bir yazalım.

Bu defa denklemin sağ tarafı sıfırlanır.

Böylece P birin sıfıra eşit olduğunu elde ederiz.

Bulduğumuz bu kökleri kullanarak şimdi polinomlarımızı oluşturalım.

P birin sıfır olması, P polinomunun içinde x eksi bir çarpanı bulunduğunu gösterir. İkinci derece olduğu için diğer çarpana da x eksi a diyelim.

Aynı mantıkla Q sıfır eşittir sıfır olduğundan x bir çarpandır. Diğer çarpanı x eksi b olarak yazalım.

Artık bu çarpanlara ayrılmış formları, ana eşitliğimizde yerine koyabiliriz.

Her iki tarafta da x çarpı x eksi bir ifadeleri var, bunları sadeleştirirsek...

Buradan a değerinin doğrudan b'ye eşit olduğunu görüyoruz.

Eşit olan bu ortak köke k diyelim ve polinomlarımızı tek bilinmeyenli olarak yazalım.