Polinom ve Doğrusal Fonksiyon Türev İntegral Problemi
Yayınlanma:
8. a ve b gerçel sayılar olmak üzere, analitik düzlemde, $f(x) = x^3 + ax + b$ polinom fonksiyonunun grafiği veriliyor. $y = h(x)$ doğrusal fonksiyonu $y = f(x)$ eğrisinin yerel extremum noktalarından geçtiğine göre $\int xh'(x) dx$ integrali aşağıdakilerden hangisine eşittir?
Soruda görsel içerik var: Koordinat düzleminde, $f(x) = x^3 + ax + b$ şeklinde üçüncü dereceden bir polinom fonksiyonunun grafiği (kırmızı) ve $y = h(x)$ şeklinde doğrusal bir fonksiyonun grafiği (mavi) gösterilmektedir. Kırmızı eğri, x eksenini -2 noktasında kesmektedir. Mavi doğru, kırmızı eğrinin yerel maksimum ve yerel minimum noktalarından geçmektedir. Grafik, orijin 'O' noktası ile eksenleri ve kesişim noktalarını belirtmektedir.
Animasyonlu Video Çözüm
İlk yarısı ücretsiz izlenebilir, tamamı uygulamada.
Adım Adım Yazılı Çözüm
Merhaba Ceyda, seninle birlikte bu harika türev ve integral sorusunu adım adım çözelim.
Polinom ve Doğrusal Fonksiyonlar
Soruda bize üçüncü dereceden bir f fonksiyonu verilmiş ve h doğrusal fonksiyonunun bu fonksiyonun yerel ekstremum noktalarından geçtiği belirtilmiştir. Son olarak bizden bir integralin sonucunu bulmamız isteniyor.
İlk olarak, f fonksiyonunun yerel ekstremum noktalarını bulmak amacıyla türevini alalım.
Yerel Ekstremum Noktalarını Bulma
Türev aldığımızda, x kübün türevinden üç x kare, a x'in türevinden ise a gelir. b sabit olduğu için türevi sıfırdır.
Grafikte gördüğümüz gibi, yerel maksimum noktası x eşittir eksi iki apsisli noktadadır. Ekstremum noktalarında türev sıfır olacağı için f'in eksi ikideki türevi sıfıra eşit olmalıdır.
Türev denkleminde x yerine eksi iki yazdığımızda, üç çarpı eksi ikinin karesi artı a eşittir sıfır denklemini elde ederiz.
Buradan, on iki artı a eşittir sıfır olur.
Ve a değerini eksi on iki olarak başarıyla buluruz.
Şimdi de bu bulduğumuz a değerini türev formülünde yerine yazalım.
Diğer ekstremum noktasını bulmak için türevi sıfıra eşitleyelim.
Buradan üç x kare eşittir on iki, yani x kare eşittir dört elde edilir.
Bu durumda x değeri iki veya eksi iki olabilir. Grafik üzerinde zaten eksi ikiyi görmüştük, o halde diğer yerel ekstra mum noktamızın apsisi x eşittir iki olacaktır.
Şimdi ekstremum noktalarının koordinatlarını hesaplayalım.
Ekstremum Noktalarının Koordinatları
İlk noktamız apsisi eksi iki olan yerel maksimum noktasıdır. Fonksiyonda yerine yazalım.
Çözümün devamı Solvi’de
14 adım daha kilitli. Tamamını animasyonlu ve sesli anlatımla ücretsiz izle.
Fotoğrafını çek, her soruyu böyle çöz.
Çözümün Devamını Ücretsiz İzle
İndirmesi ücretsiz · İlk çözümler hediye
