Polinom ve Çokgen Köşe Değerleri Problemi
Yayınlanma:
n kenarlı bir düzgün çokgenin her bir köşesine $x_1, x_2, x_3, ..., x_n \in \mathbb{Z}^+$ olmak üzere farklı birer pozitif tam sayı yazılmıştır. P(x), n'ninci dereceden tam sayı katsayılı orijinden geçen bir polinom olmak üzere; $P(x_1) = P(x_2) = P(x_3) = ... = P(x_n) = 345345$ olduğuna göre, düzgün çokgenin kenar sayısı en çok kaç olabilir? A) 5 B) 8 C) 9 D) 7 E) 6
Soruda görsel içerik var: Bir çokgenin bir kısmını gösteren çizim bulunmaktadır. Çokgenin köşeleri $x_1, x_2, x_3, x_4$ ve $x_n$ olarak etiketlenmiştir. Köşeler birbirine kenarlarla bağlanmıştır. $x_n$ ile bir sonraki köşe arasında ve $x_4$ ile bir sonraki köşe arasında devam ettiğini belirten kesik çizgiler mevcuttur.
Animasyonlu Video Çözüm
İlk yarısı ücretsiz izlenebilir, tamamı uygulamada.
Adım Adım Yazılı Çözüm
Selam Rabiss., bu soruda derecesi n olan bir polinom ve bu polinomun farklı pozitif tam sayılarda aldığı değerler verilmiş. Adım adım ilerleyelim.
Polinom Analizi
P x n'inci dereceden bir polinom ve x 1'den x n'e kadar n tane farklı değer için sonuç 345 bin 345 oluyor.
Bu bilgiyi kullanarak polinomu şu şekilde yazabiliriz: P x eksi 345 bin 345 eşittir, baş katsayı a çarpı köklerin farkları.
Burada a katsayısının bir tam sayı olduğunu biliyoruz. Ayrıca polinomun orijinden geçtiği belirtilmiş, bu da P sıfırın sıfıra eşit olduğu anlamına gelir. Denklemde x yerine sıfır koyalım.
P sıfır yerine sıfır yazıp ifadeyi düzenlediğimizde, 345 bin 345'in köklerin çarpımı ile baş katsayının çarpımına eşit olduğunu görüyoruz.
Bu eşitlikten anlıyoruz ki, x i pozitif tam sayılarının çarpımı 345 bin 345 sayısını tam bölmelidir.
Şimdi n değerini maksimize etmek için 345 bin 345 sayısını asal çarpanlarına ayıralım. Bu sayı 345 çarpı 1001'dir.
345 sayısı 3, 5 ve 23'ün çarpımıdır. 1001 ise meşhur 7, 11 ve 13 asallarının çarpımıdır.
Çözümün devamı Solvi’de
7 adım daha kilitli. Tamamını animasyonlu ve sesli anlatımla ücretsiz izle.
Fotoğrafını çek, her soruyu böyle çöz.
Çözümün Devamını Ücretsiz İzle
İndirmesi ücretsiz · İlk çözümler hediye
