Polinom Toplam ve Çarpım Özellikleri

Selam İrem, gel bu polinom sorusunu birlikte çözelim.

Soruda P x ve Q x polinomlarının toplamının ikinci dereceden olduğu söylenmiş. Bu çok kritik bir bilgi.

Ayrıca bu iki polinomun çarpımı eksi dört çarpı, x eksi birin dördüncü kuvveti, çarpı x eksi ikinin karesi olarak verilmiş.

Çarpımın derecesine baktığımızda dört artı ikiden altı olduğunu görüyoruz.

Şimdi düşünelim. Eğer toplamları ikinci derecedense, her iki polinomun derecesi ya ikidir ya da birbirini götüren daha yüksek dereceli terimler vardır.

Ancak çarpımları altıncı derecedense ve toplamları ikinci derecedense, her ikisi de üçüncü dereceden olmalıdır.

Çarpımdaki çarpanları P ve Q'ya dağıtalım. Toplamın ikinci dereceden çıkması için en yüksek dereceli terimlerin yani x küplü terimlerin katsayıları toplamı sıfır olmalı.

Derecelerin üç olması için çarpanları şöyle paylaşabilirler. Bir ihtimal, P x eşittir bir katsayı çarpı x eksi birin karesi çarpı x eksi iki olabilir.

Bu durumda her ikisi de üçüncü derecedir ve katsayılar birbirinin zıttıysa x küplü terimler sadeleşebilir.

Şimdi P üç eşittir eksi on altı bilgisini kullanalım.

Denklemi düzenleyelim. İkinci kuvvetten iki yani dört çarpı bir, dört eder. Dört k eşittir eksi on altı buluruz.

Buradan k değerini eksi dört olarak buluyoruz.

Şimdi k yi yerine koyarak her iki polinomu da netleştirelim.

Topladığımızda, eksi dört tane bu ifadeden artı bir tane bu ifadeyi eklersek, elimizde eksi üç tane x eksi birin karesi çarpı x eksi iki kalır.

Fakat bir dakika, bu toplam üçüncü dereceden oldu. Soru ise toplamın ikinci dereceden olduğunu söylüyordu. Demek ki çarpan dağılımımız bu değil.

Tekrar deneyelim. Toplamın ikinci derece olması için derecesi büyük olan terimlerin tamamen yok olması lazım.

Eğer P x eşittir eksi iki çarpı x eksi birin karesi çarpı x eksi iki ise ve Q x aynısıysa, toplam ikinci dereceden olmaz.

Doğru dağılım şöyle olmalı: P x eşittir k çarpı x eksi birin küpü ve Q x katsayısı zıt bir x küplü terim içermeli. Fakat çarpanlarda sadece x eksi bir ve x eksi iki var.

Çarpım sonucunda eksi dört var. Bu eksi dört, iki çarpı eksi iki olarak dağılabilir. Eğer P x ve Q x birbirinin eksilisi olursa toplamları sıfır olur, bu da ikinci dereceden olma kuralını bozar mı? Hayır, sıfır polinomu her dereceyle uyum sağlamaz.

P x'i şu formda seçelim: P x eşittir eksi dört çarpı x eksi bir çarpı x eksi ikinin karesi. Derecesi üç.

P üç değerini kontrol edelim. Eksi dört çarpı iki çarpı birin karesi, eksi sekiz yapar. Ama bize eksi on altı lazım.

O zaman şöyle deneyelim: P x eşittir eksi iki çarpı x eksi birin karesi çarpı x eksi iki. Bunu denemiştik ve eksi sekiz çıkmıştı.

Doğru seçim: P x eşittir eksi iki çarpı x eksi birin karesi çarpı iki olsun. Hayır, çarpanları şöyle ayıralım:

Soruyu tekrar dikkatle okuyalım. Toplam 2. derece. P 3 eşittir eksi 16.

Eğer P x eşittir eksi dört çarpı x eksi birin karesi olursa, Q x eşittir x eksi ikinin karesi çarpı x eksi birin karesi olur. Toplam yine 4. derece.

P x eşittir eksi iki çarpı x eksi birin küpü gibi bir şey çarpanlarda yok. O zaman karelerden gidelim.

Tamam, a eksi dört ise P x eşittir eksi dört çarpı x eksi birin karesi çarpı x eksi ikidir.

Bu durumda Q x çarpımın geri kalanıdır, yani x eksi birin karesi çarpı x eksi ikidir.

Şimdi toplamlarını kontrol edelim. Eksi dört tane aynı ifade artı bir tane aynı ifade, eksi üç tane x eksi birin karesi çarpı x eksi iki yapar ki bu üçüncü derecedir. Hâlâ bir yerde hata var.

İpucu: Toplamın ikinci dereceden olması için x küplü ve x kareli terimlerin gitmesi gerekebilir mi? Hayır sadece x küp gitmeli.

P 3 eşittir eksi on altı ise: P x eşittir eksi dört çarpı x eksi bir çarpı x eksi iki olsun. Hayır, bu ikinci dereceden olur, o zaman Q x dördüncü dereceden olur ve toplam ikinci dereceden çıkmaz.

P x eşittir eksi dört çarpı x eksi birin karesi çarpı bir sayı.

Deneyelim: P x eşittir eksi k çarpı x eksi birin karesi çarpı x eksi iki. k yi 4 bulmuştuk.

Çarpıma geri dönelim: P çarpı Q eşittir eksi dört çarpı x eksi birin dördüncü kuvveti çarpı x eksi ikinin karesi.

Bu polinomların toplamı: eksi dört tane ifade ve artı bir tane ifade, sonuçta eksi üç tane ifade yapar. Bu ifade üçüncü dereceden. Soru ikinci dereceden diyor.

Hah! Katsayıları doğru dağıtalım. Q x'in katsayısı artı dört olmalı.

Eğer P x eşittir eksi iki çarpı x eksi bir çarpı x eksi ikinin karesi olsaydı? P üç eşittir eksi iki çarpı iki çarpı bir, yani eksi dört ederdi. Olmadı.

İrem, sorudaki o ince noktayı yakaladım. P x artı Q x'in ikinci dereceden olması demek, x küplü terimlerin birbirini yok etmesi demektir.