Polinom Kökleri ve Belirsiz Katsayı

Merhaba Zeynep, bu güzel polinom sorusunu birlikte adım adım çözelim.

Bize üçüncü dereceden bir polinom verilmiş ve bu polinomun iki farklı açık aralıkta birer gerçel kökü olduğu söylenmiş.

Sürekli bir fonksiyonun belirli bir aralıkta kökünün olması için, aralığın uç noktalarındaki değerlerin zıt işaretli olması gerekir. Yani fonksiyon bu aralıkta işaret değiştirmelidir. Buna Ara Değer Teoremi diyoruz.

Şimdi ilk aralığımız olan eksi üç virgül eksi iki aralığını inceleyelim. Bu aralıkta bir kök olması için bu uç değerlerin çarpımı sıfırdan küçük olmalıdır.

Öncelikle P eksi üç değerini hesaplayalım. Polinomda x yerine eksi üç yazıyoruz.

Gerekli işlemleri yapalım. Eksi üçün küpü eksi yirmi yedi, eksi üçün dağılmasıyla da artı üç a artı üç elde ederiz. Buradan P eksi üç, üç a eksi yirmi iki gelir.

Şimdi de P eksi iki değerini bulalım. Polinomda x yerine eksi iki yazalım.

Eksi ikinin küpü eksi sekizdir. Eksi iki ile çarptığımızda artı iki a artı iki olur. Düzenlediğimizde iki a eksi dört elde ederiz.

Bulduğumuz bu iki değeri çarpım eşitsizliğinde yerine yazalım.

Bu eşitsizliğin kökleri iki ve yirmi iki bölü üç, yani yaklaşık yedi virgül otuz üç değerleridir.

Eşitsizliğin tablosunu düşündüğümüzde, baş katsayı pozitif olduğu için kökler arasında ifade negatif değer alır. Yani a sayısı iki ile yirmi iki bölü üç arasında olmalıdır.

Şimdi ikinci aralık olan bir virgül iki aralığını inceleyelim. Benzer şekilde, P bir çarpı P iki sıfırdan küçük olmalıdır.

Polinomda x yerine bir yazarak P bir değerini bulalım.

Buradan birler sadeleşir ve geriye iki eksi a kalır.