Polinom Katsayıları ve Kök İlişkisi

Merhaba Zekiye, bu güzel polinom sorusunu birlikte adım adım çözelim.

İlk olarak, bize verilen pe iks polinomunun kökleri arasında, iks bir küçüktür sıfır küçüktür iks iki ilişkisi olduğu söylenmiş. Bu durum, köklerin zıt işaretli olduğunu gösterir.

Kökler zıt işaretli olduğuna göre, kökler çarpımı kesinlikle negatif olmalıdır. İkinci dereceden bir denklemde kökler çarpımı c bölüü a formülüyle bulunur.

Polinomdaki katsayıları yerlerine yazalım. Başkatsayımız a, on altı eksi m kareye eşittir. Sabit terimimiz c ise, iki m eksi birdir. Bu durumda oranımız negatif olmalıdır.

Bu eşitsizliğin köklerini bularak işaret tablosunu inceleyelim. Payın kökü bir bölüü iki, paydanın kökleri ise eksi dört ve dörttür.

İşaret tablosunu oluşturduğumuzda, ifadenin negatif olduğu aralıkları eksi dört ile sıfır virgul beş açık aralığı ve dört ile sonsuz aralığı olarak buluruz.

Şimdi sorunun ikinci kısmına geçelim. Hüsna'nın elde ettiği ku iks polinomunun kökleri, pe iks polinomunun köklerinin çarpmaya göre tersidir.

Matematiksel olarak, bir polinomun köklerinin çarpmaya göre tersini aldığımızda, başkatsayı ile sabit terim yer değiştirir. Yani elde edilen yeni denklem c iks kare artı b iks artı a şeklinde olmalıdır.

Hüsna, başkatsayıyı yanlışlıkla en büyük katsayı olarak almış ve doğru başkatsayı ile bu en büyük katsayıyı yer değiştirmiştir. Bu durumda, en büyük katsayının sabit terim olan c yani iki m eksi bir olması gerekir.

Dolayısıyla, c katsayısı, diğer katsayılar olan a ve b değerlerinden daha büyük olmalıdır. Bu eşitsizlikleri tek tek yazalım.