Polinom Fonksiyonlarda Türev

Selam Hüsna, gel bu güzel AYT matematik sorusunu birlikte adım adım çözelim.

Öncelikle bize verilen kutu içerisindeki f x fonksiyonunun tanımına bakalım. Bu tanım, fonksiyonun kendisinden türevinin çıkarılmasıyla elde ediliyor.

Soruda kutu içerisinde f iki x ifadesinin sonucu verilmiş. Bu sonucu kullanarak önce f x polinomunun neye benzediğini bulalım.

Tanımı f iki x için uygularsak, bu ifade f iki x eksi f türev iki x'e eşittir.

Sonuç ikinci dereceden bir polinom olduğu için f x'in de ikinci dereceden, yani a x kare artı b x artı c formunda olması gerektiğini anlıyoruz.

Eğer f x bu şekildeyse, f iki x ifadesi a çarpı iki x'in karesi artı b çarpı iki x artı c olur. Yani dört a x kare artı iki b x artı c.

Şimdi f türev iki x'i bulalım. Önce türevi alıp sonra değişkeni yazarsak, f türev x iki a x artı b olur. İçerisine iki x yazınca ise dört a x artı b elde ederiz.

Şimdi bu ikisini çıkarıp verilen dör x kare artı iki x artı bir ifadesine eşitleyelim.

Benzer terimleri gruplayalım. x kareli terim dört a, sağdaki dört x kareye eşittir. Buradan a'nın bir olduğu hemen görülür.

A'ya bir verirsek, x'li terimin katsayısı olan iki b eksi dört, sağdaki ikiye eşit olur. Bu durumda iki b eşittir altı ve b eşittir üç bulunur.

Son olarak sabit terime bakalım. c eksi b eşittir bir. b üç olduğuna göre, c eksi üç eşittir bir olur ve buradan c'yi dört olarak buluruz.

Yani f x polinomumuz x kare artı üç x artı dört olarak ortaya çıktı.

Şimdi g x fonksiyonuna odaklanalım. g x, kutu içinde x kare ile kutu içinde f x'in çarpımı olarak tanımlanmış.