Periyodik Fonksiyonun Toplam ve Limit Sorusu

MathematicsFunctions and LimitsZorYKS

Yayınlanma:

Soru

5. Aşağıdaki dik koordin düzleminde gerçek sayılar kümesi üzerinde tanımlı $f(x) = f(x + 3)$ eşitliğini sağlayan f fonksiyonunun grafiğinin bir kısmı verilmiştir. Buna göre $\sum_{k=1}^{100} \lim_{x \to k^+} f(x)$ ifadesinin değeri kaçtır? A) 31 B) 33 C) 35 D) 41 E) 43

Soruda görsel içerik var: Bir kartezyen koordinat düzleminde, $f(x) = f(x+3)$ periyodik fonksiyonunun grafiğinin bir parçası gösterilmektedir. Grafik iki parçadan oluşur: $(-1, -1)$ noktasından açık parantezle başlayıp $(1, 1)$ noktasında dolu bir daire ile biten doğru parçası, ve $(1, 2)$ noktasındaki açık daireden başlayıp $(2, 1)$ noktasındaki dolu daireye giden ikinci doğru parçası. x eksenindeki -1, 1, 2 ve y eksenindeki -1, 1, 2 değerleri kesikli çizgilerle işaretlenmiştir.

Animasyonlu Video Çözüm

İlk yarısı ücretsiz izlenebilir, tamamı uygulamada.

Adım Adım Yazılı Çözüm

1
Adım 1

Merhaba babanen, beraber bu limite sahip toplam sorusunu adım adım çözelim. Sorunun metninde ef x eşittir ef x artı üç eşitliği verildiğini görüyoruz. Bu durum, fonksiyonun periyodik olduğu ve periyodunun üç olduğu anlamına gelir.

Fonksiyon Ortak Periyodu

$$f(x) = f(x+3) \implies \text{Periyot } T = 3$$
$$\text{İstenen Toplam: } \sum_{k=1}^{100} \lim_{x \to k^+} f(x)$$
2
Adım 2

Periyot üç olduğu için, bu limit değerleri de her üç adımda bir kendisini tekrar edecektir. Grafiği kullanarak sadece ilk üç durumu hesaplamak yeterli olacak.

Limit Değerlerinin Bulunması

$$\text{1. } \lim_{x \to 1^+} f(x) = \text{?}$$
3
Adım 3

Önce k eşittir bir için limite bakalım. Grafikte x, bire sağdan yaklaşırken, fonksiyonun grafiğinde birin sağındaki çizgi ikiden başlıyor. Yani limit değerimiz ikidir.

4
Adım 4

Şimdi k eşittir iki için limite bakalım. Grafikte ikinin sağ tarafını doğrudan göremiyoruz ancak periyot üç olduğu için ikiye sağdan yaklaşmakla, ikiden üç çıkararak bulduğumuz eksi bire sağdan yaklaşmak aynıdır.

$$\text{2. } \lim_{x \to 2^+} f(x) = \lim_{x \to -1^+} f(x)$$
5
Adım 5

Grafikte x eksi bire sağdan yaklaşırken, doğrunun eksi bir değerinden başlayıp yukarı doğru ilerlediğini görüyoruz. Demek ki bu limit eksi birdir.

6
Adım 6

Son olarak k eşittir üç için duruma bakalım. Benzer şekilde periyodiklik gereği, x üçe sağdan yaklaşırkenki limit, üç eksi üçten dolayı sıfıra sağdan yaklaşırkenki limite eşittir.

$$\text{3. } \lim_{x \to 3^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} f(x)$$
7
Adım 7

x sıfıra sağdan yaklaşırken, fonksiyon y eşittir x doğrusu üzerinde hareket ediyor ve y değeri de tamamen sıfıra yaklaşıyor. Yani son limit değerimiz de sıfırdır.

Çözümün devamı Solvi’de

6 adım daha kilitli. Tamamını animasyonlu ve sesli anlatımla ücretsiz izle.

Fotoğrafını çek, her soruyu böyle çöz.

App Store’dan indir Google Play’den edin

İndirmesi ücretsiz · İlk çözümler hediye

100K+Her gün çözülen soru
50K+Öğrenen öğrenci
4.8 ★App Store puanı

Soru Bilgileri

Ders
Mathematics
Konu
Functions and Limits
Zorluk
Zor
Sınav
YKS
Soru Tipi
Çoktan Seçmeli

Benzer Sorular

Fonksiyon ve Limit Sorusu Functions and Limits · Zor Doğrusal Fonksiyon ve Limit Problemi Functions and Limits · Zor c sayısının alabileceği değerler toplamı Functions and Limits · Zor Doğrusal Fonksiyon ve Limit Sorusu Functions and Limits · Orta Doğrusal Fonksiyonların Karşılaştırılması Functions and Limits · Orta Fonksiyon ve Limit Analizi Functions and Limits · Orta

Her soruyu saniyeler içinde çöz

Fotoğrafını çek, yapay zeka adım adım, sesli ve animasyonlu anlatsın.

App Store’dan indir Google Play’den edin
Solvi
Çözümün devamı uygulamadaİndirmesi ücretsiz · İlk çözümler hediye
İndir