Pascal Üçgeni ve Binom Katsayıları

MathematicsBinomial TheoremOrtaYKS

Yayınlanma:

Soru

14. $(x + y)^n$ açılımının kat sayıları aşağıdaki gibi verilmiştir.

$$1 \rightarrow (x + y)^0$$

$$1 \quad 1 \rightarrow (x + y)^1$$

$$1 \quad 2 \quad 1 \rightarrow (x + y)^2$$

$$1 \quad 3 \quad 3 \quad 1 \rightarrow (x + y)^3$$

Ali, $(x + y)^n$ açılımında bulunan kat sayıları yazdığında dört farklı sayı kullanmıştır.

Buna göre Ali'nin n yerine kullanmış olduğu sayıların toplamı kaçtır?

A) 9 B) 11 C) 13 D) 15 E) 17

Soruda görsel içerik var: Pascal üçgeninin ilk dört satırı gösterilmiştir. Her satırın sağında ilgili (x+y)^n ifadesi verilmiştir. Birinci satır: 1, (x+y)^0. İkinci satır: 1 1, (x+y)^1. Üçüncü satır: 1 2 1, (x+y)^2. Dördüncü satır: 1 3 3 1, (x+y)^3. Üçüncü satırın altından devam ettiğini belirten kesikli çizgiler bulunmaktadır.

Animasyonlu Video Çözüm

İlk yarısı ücretsiz izlenebilir, tamamı uygulamada.

Adım Adım Yazılı Çözüm

1
Adım 1

Merhaba Helinakhal, gel bu güzel binom açılımı sorusunu birlikte çözelim.

Binom Katsayıları ve Pascal Üçgeni

2
Adım 2

Soruda, x artı y'nin n'inci kuvvetinin açılımındaki katsayılardan bahsediliyor. Bu katsayılar Pascal üçgeninin satırlarını oluştururlar.

$$(x + y)^n \text{ açılımının katsayıları: } \binom{n}{0}, \binom{n}{1}, \dots, \binom{n}{n}$$
3
Adım 3

Binom katsayılarının simetrik özelliğinden dolayı, baştan ve sondan eşit uzaklıktaki katsayılar birbirine eşittir.

$$\binom{n}{r} = \binom{n}{n - r}$$
4
Adım 4

Bu simetri sebebiyle, n çift veya tek olduğunda kaç farklı katsayı elde edeceğimizi genel formüllerle inceleyebiliriz.

Katsayı Çeşitliliği

5
Adım 5

İlk olarak n sayısının çift olduğu durumu ele alalım. n çift bir sayı olduğunda, katsayılar ortadaki terime kadar artar ve sonra simetrik olarak azalır.

Durum 1: n Çift Sayı İse

$$\text{Farklı katsayı sayısı: } \frac{n}{2} + 1$$
6
Adım 6

Ali'nin katsayıları yazarken dört farklı sayı kullandığı söylenmiş. Bu durumda farklı katsayı sayısını dörde eşitleyelim.

7
Adım 7

Buradan n bölü iki değerini üç olarak buluruz ve n değerimiz altı olarak karşımıza çıkar.

8
Adım 8

Gelin n eşittir altı için bu katsayıları yazıp doğruluğunu kontrol edelim.

$$n = 6 \implies 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1$$

Çözümün devamı Solvi’de

8 adım daha kilitli. Tamamını animasyonlu ve sesli anlatımla ücretsiz izle.

Fotoğrafını çek, her soruyu böyle çöz.

App Store’dan indir Google Play’den edin

İndirmesi ücretsiz · İlk çözümler hediye

100K+Her gün çözülen soru
50K+Öğrenen öğrenci
4.8 ★App Store puanı

Soru Bilgileri

Ders
Mathematics
Konu
Binomial Theorem
Zorluk
Orta
Sınav
YKS
Soru Tipi
Çoktan Seçmeli

Benzer Sorular

Binomial Expansion Coefficient Question Binomial Theorem · Orta Binomial Expansion Term Finding Binomial Theorem · Orta Binomial Katsayılar Problemi Binomial Theorem · Zor Binomial Expansion Coefficient Problem Binomial Theorem · Zor Binomial Expansion Coefficient Problem Binomial Theorem · Zor Binomial Expansion Term Finding Binomial Theorem · Orta

Her soruyu saniyeler içinde çöz

Fotoğrafını çek, yapay zeka adım adım, sesli ve animasyonlu anlatsın.

App Store’dan indir Google Play’den edin
Solvi
Çözümün devamı uygulamadaİndirmesi ücretsiz · İlk çözümler hediye
İndir