Binomial Katsayılar Problemi

MathematicsBinomial TheoremZorYKS

Yayınlanma:

Soru

n bir pozitif tam sayı olmak üzere $(x^2 + x)^n$ ifadesinin açılımında hem $x^{19 - n}$ li terimin hem de $x^{16 - n}$ li terimin katsayısı k pozitif tam sayısına eşittir. Buna göre k kaçtır? A) 6 B) 12 C) 15 D) 18 E) 21

Animasyonlu Video Çözüm

İlk yarısı ücretsiz izlenebilir, tamamı uygulamada.

Adım Adım Yazılı Çözüm

1
Adım 1

Merhaba Ayla, binom açılımı ile ilgili bu soruyu adım adım inceleyelim. İfademiz iks kare artı iks üzeri en şeklinde verilmiş.

Binom Açılımı

2
Adım 2

Öncelikle bu ifadeyi, genel terimi daha rahat bulabilmek için ortak paranteze alarak yeniden yazalım. İks parantezinde iks artı birin eninci kuvveti şeklinde düzenleyebiliriz.

$$(x^2 + x)^n = [x(x+1)]^n = x^n(x+1)^n$$
3
Adım 3

Şimdi, iks artı birin eninci kuvvetinin açılımındaki genel terim formülünü hatırlayalım. Bu terim, enin re'li kombinasyonu çarpı iks üzeri re çarpı bir üzeri en eksi re olacaktır.

$$T_{r+1} = x^n \cdot \binom{n}{r} x^r \cdot 1^{n-r}$$
4
Adım 4

Birin tüm kuvvetleri bir olduğu için ve iksli terimlerin üslerini topladığımızda, ifadenin genel terimini elde ederiz.

5
Adım 5

Soruda bize iks üzeri on dört eksi en ve iks üzeri on altı eksi enli terimlerin katsayılarının eşit olduğu söylenmiş. Bu kuvvetleri genel formülümüzdeki en artı re'ye eşitleyelim.

İstenen terimlerin kuvvetleri:

$$n + r_1 = 14 - n$$
$$n + r_2 = 16 - n$$
6
Adım 6

Buradan re bir değerini on dört eksi iki en, re iki değerini ise on altı eksi iki en olarak buluruz.

7
Adım 7

Bu terimlerin katsayıları olan kombinasyonlar birbirine ve ka pozitif tam sayısına eşittir.

Katsayıların Eşitliği

$$\binom{n}{14-2n} = \binom{n}{16-2n} = k$$
8
Adım 8

Kombinasyonun özelliğine göre, enin a'lısı enin be'lisine eşitse ve a be'den farklıysa, bu iki alt sayının toplamı ene eşit olmalıdır.

$$\binom{n}{a} = \binom{n}{b} \Rightarrow a + b = n$$
9
Adım 9

Bizim durumumuzda on dört eksi iki en ile on altı eksi iki enin toplamı ene eşit olmalıdır. Bu denklemi kuralım.

$$(14 - 2n) + (16 - 2n) = n$$

Çözümün devamı Solvi’de

8 adım daha kilitli. Tamamını animasyonlu ve sesli anlatımla ücretsiz izle.

Fotoğrafını çek, her soruyu böyle çöz.

App Store’dan indir Google Play’den edin

İndirmesi ücretsiz · İlk çözümler hediye

100K+Her gün çözülen soru
50K+Öğrenen öğrenci
4.8 ★App Store puanı

Soru Bilgileri

Ders
Mathematics
Konu
Binomial Theorem
Zorluk
Zor
Sınav
YKS
Soru Tipi
Çoktan Seçmeli

Benzer Sorular

Binomial Expansion Coefficient Question Binomial Theorem · Orta Binomial Expansion Term Finding Binomial Theorem · Orta Binomial Expansion Coefficient Problem Binomial Theorem · Zor Binomial Expansion Coefficient Problem Binomial Theorem · Zor Binomial Expansion Term Finding Binomial Theorem · Orta Binomial açılımında terim bulma Binomial Theorem · Orta

Her soruyu saniyeler içinde çöz

Fotoğrafını çek, yapay zeka adım adım, sesli ve animasyonlu anlatsın.

App Store’dan indir Google Play’den edin
Solvi
Çözümün devamı uygulamadaİndirmesi ücretsiz · İlk çözümler hediye
İndir