Binomial Expansion Coefficient Problem

Merhaba Melek, seninle birlikte bu binom açılımı sorusunu adım adım çözelim. İlk olarak verilen ifadeyi ve binom açılımının genel terim formülünü yazarak başlayalım.

Verilen ifadeyi üslü biçimde daha kolay yazabiliriz. Bölü x yerine x üzeri eksi bir yazalım.

Binom açılımında genel terim formülümüzü hatırlayalım. A artı B üzeri n açılımında genel terim, n'in r'li kombinasyonu çarpı A üzeri n eksi r, çarpı B üzeri r şeklindedir.

Şimdi bizim ifademizde n yerine dokuz, A yerine x kare ve B yerine eksi iki x üzeri eksi bir yazarak genel terimi oluşturalım.

Burada üsleri düzenleyelim. x karenin dokuz eksi r'inci kuvveti, x üzeri on sekiz eksi iki r yapar.

Şimdi de x'li terimleri birleştirelim. Tabanlar aynı olduğu için üsleri topluyoruz ve on sekiz eksi üç r elde ediyoruz.

Harika. Şimdi soruda bize verilen katsayılar arasındaki ilişkiyi inceleyelim. İlk olarak x üzeri dokuz eksi k'li terime bakalım.

Bu terimin üssü dokuz eksi k olmalıdır. O halde, on sekiz eksi üç r bir, dokuz eksi k'ye eşit olmalı.

Buradan r bir'i yalnız bırakırsak, üç r bir eşittir dokuz artı k, yani r bir eşittir dokuz artı k bölü üç buluruz.

İkinci terimimiz ise x üzeri k'li terimdir. Bu durumda üs k'ye eşit olmalıdır.

Buradan r iki'yi çekersek, üç r iki eşittir on sekiz eksi k, yani r iki eşittir on sekiz eksi k bölü üç elde ederiz.

Bu iki r değerini topladığımızda k'lerin birbirini götürdüğünü görebiliriz. Toplayalım ve sonucu inceleyelim.

r bir ile r iki'nin toplamının dokuz olduğunu bulduk. Kombinasyonun simetri özelliğinden dolayı, dokuzun r bir'li kombinasyonu, dokuzun r iki'li kombinasyonuna eşittir.