Parçalı Fonksiyonun Türevlenebilirliği

Selamlar! Bu soruda parçalı bir fonksiyonun bir noktada türevli olması durumunu inceleyeceğiz. Fonksiyonumuzun x eşittir bir noktasında türevli olduğu verilmiş ve bizden be değerini bulmamız isteniyor.

Bir fonksiyonun bir noktada türevli olabilmesi için ilk şartımız, fonksiyonun o noktada sürekli olmasıdır. Yani sağ limit, sol limit ve o noktadaki değer birbirine eşit olmalıdır.

Sol limit için x kareli üstteki ifadeyi, sağ limit ve fonksiyon değeri için ise alttaki ifadeyi kullanıyoruz.

İşlemleri yaparsak, sol taraf a eksi iki artı üçten a artı bir olur. Sağ taraf ise bir artı be eksi dörtten be eksi üç olur.

Biri karşıya atarsak, a ve be arasındaki ilk ilişkiyi a eşittir be eksi dört olarak buluruz. Bu kenarda dursun.

İkinci şartımız ise sağ ve sol türevlerin birbirine eşit olmasıdır. Çünkü bir noktada türevin varlığı için o noktadaki değişimin her iki yönden aynı olması gerekir.

Şimdi her iki parçanın da türevini alalım. Üstteki parçanın türevi iki a iks eksi iki olurken, alttaki parçanın türevi iki iks artı be olur.

Şimdi x yerine bir yazarak bu türevleri birbirine eşitleyelim.