Parçalı Fonksiyonun İntegrali ve Süreklilik

Merhaba! Bu soruda parçalı bir fonksiyonun sürekliliği ve integral eşitliği üzerinden m artı n toplamını bulacağız.

Soruda f fonksiyonunun gerçel sayılar kümesinde sürekli olduğu bilgisi verilmiş. Bu, x eşittir bir kritik noktasında limitlerin birbirine eşit olması gerektiği anlamına gelir.

x bire soldan yaklaşırken üstteki kuralı, sağdan yaklaşırken alttaki kuralı kullanıyoruz. Yerine koyduğumuzda bir eksi birin karesi bölü iki, m çarpı bir eksi n'ye eşit olmalı.

Sol taraf sıfır gelir. Buradan m eksi n'nin sıfıra eşit olduğunu, yani m'nin n'ye eşit olduğunu buluruz. Bu çok kritik bir bilgi.

Şimdi integral eşitliğini inceleyelim. Sıfırdan üçe kadar olan integrali parçalayarak yazmalıyız, çünkü fonksiyonumuz bir noktasında kural değiştiriyor.

Eşitliğin sağındaki biri beş arasını da parçalayabilirdik ama gel her iki taraftaki benzer terimleri sadeleştirelim. Sıfırdan biri olan integral kalsın, birden üçe olan integrali sağ tarafa atalım.

İntegral özelliklerinden biliyoruz ki, birden beşe kadar olan alandan birden üçe kadar olan alanı çıkarırsak geriye üçten beşe kadar olan alan kalır.

Şimdi uygun fonksiyon kurallarını yerleştirelim. Sıfır bir aralığı için üstteki kuralı, üç beş aralığı için alttaki kuralı kullanacağız.

Hatırlarsan m'nin n'ye eşit olduğunu bulmuştuk. İşlemi kolaylaştırmak için n yerine m yazalım.